Mezcla de variables (SOS + EV) y convexidad

El principio de mezcla de variables (EV)

El método de mezcla de variables (Equal Variables, o "SOS + EV") se basa en el siguiente principio geométrico: si $f(a,b,c)$ es una función simétrica continua definida en un compacto (por ejemplo $\{a+b+c=1, a,b,c \ge 0\}$), su mínimo (o máximo) se alcanza en un punto donde al menos dos variables son iguales, o en el borde del dominio.

Este principio se formaliza en el Lema de Schur-convexidad y en los teoremas de Karamata y Hardy-Littlewood-Polya, pero para aplicaciones olímpicas basta con la versión informal:

Principio EV: Para demostrar $f(a,b,c) \ge 0$ con $a+b+c = s$ y $a,b,c \ge 0$, basta demostrarlo en el caso $b = c$ (o en los dos casos extremos: $a=b=c=s/3$ y $a = s, b = c = 0$).

La justificación es que si $f$ es convexa en cada variable (fijando las otras), el mínimo está en el borde; si es cóncava, el mínimo está en el interior. La mezcla de variables usa esta alternancia para reducir la verificación a un polinomio en una sola variable.

Cuándo aplicar EV: el test de convexidad

Para determinar si podemos "mezclar" las variables hacia la igualdad o hacia el borde, aplicamos el siguiente test:

Fijamos dos variables iguales: $b = c = t$ y dejamos $a = s - 2t$ variar. La función de una variable $g(t) = f(s-2t, t, t)$ debe ser convexa o cóncava en $[0, s/3]$:

- Si $g$ es convexa, el mínimo de $g$ está en el borde: $t = 0$ (es decir, $b=c=0$, $a=s$) o $t = s/3$ (es decir, $a=b=c$). Para demostrar $f \ge 0$, basta verificarlo en estos dos casos extremos.

- Si $g$ es cóncava, el mínimo de $g$ está en el interior, y EV puede no reducir directamente. En ese caso se puede usar el método SOS para la diferencia.

Ejemplo. Para $a+b+c=1$, $a,b,c \ge 0$, demostrar $ab+bc+ca \le \dfrac{1}{3}$. Con $b=c=t$, $a=1-2t$: $g(t) = (1-2t)t + t^2 + (1-2t)t = 2t(1-2t)+t^2 = 2t-4t^2+t^2 = 2t-3t^2$. Esta es cóncava en $t$, máximo en $t=1/3$: $g(1/3)=2/3-3/9=2/3-1/3=1/3$. Correcto.

El método EV formal: reducción a dos variables

Teorema EV (versión olímpica). Sea $f(a,b,c)$ una función simétrica diferenciable en $\{a+b+c=1, a,b,c \ge 0\}$. Si en cualquier punto interior con $a \ne b \ne c$, la diferencia $\frac{\partial f}{\partial a} - \frac{\partial f}{\partial b}$ tiene el mismo signo que $a - b$ (función creciente en su variable), entonces el mínimo de $f$ se alcanza en un punto con $b = c$ o $a = c$ o $a = b$.

Aplicación sistemática:

(1) Verifica que $f$ es simétrica (o aplica el argumento cíclicamente para la versión cíclica).

(2) Supón sin pérdida de generalidad $a \ge b \ge c \ge 0$ y que el mínimo se alcanza en $(a_0, b_0, c_0)$ con $a_0 > b_0 > c_0$.

(3) Aplica el principio del multiplicador de Lagrange o el test de derivadas para concluir que si $\frac{\partial f}{\partial b} = \frac{\partial f}{\partial c}$ en el mínimo, entonces hay alguna restricción que fuerza $b_0 = c_0$.

(4) Queda demostrar $f(a, t, t) \ge 0$ para $a + 2t = 1$, $a, t \ge 0$, que es un problema en una sola variable.

Este paso final convierte la desigualdad en tres variables en una desigualdad de una variable, que puede resolverse con cálculo, AM-GM o inspección.

Convexidad y la desigualdad de Jensen

Muchas desigualdades olímpicas de la forma $\sum f(a_i) \ge nf(\bar{a})$ (con $\bar{a} = \frac{1}{n}\sum a_i$) o $\sum f(a_i) \le nf(\bar{a})$ son consecuencia directa de la desigualdad de Jensen:

Si $\varphi$ es convexa y $\lambda_1, \ldots, \lambda_n > 0$ con $\sum \lambda_i = 1$: $\varphi(\sum \lambda_i x_i) \le \sum \lambda_i \varphi(x_i)$.

La clave para combinar Jensen con la mezcla de variables: si $\varphi$ es convexa, el máximo de $\sum \varphi(a_i)$ bajo $\sum a_i = s$ se alcanza en el borde. Si $\varphi$ es cóncava, el mínimo se alcanza en el borde.

Ejemplo (Iberoamericana). Sea $a+b+c=1$, $a,b,c > 0$. Demostrar $\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2} \ge \dfrac{9}{8}$.

La función $\varphi(x) = \dfrac{x}{1-x^2}$ para $x \in (0,1)$. Calculamos $\varphi''(x)$: $\varphi'(x) = \dfrac{1+x^2}{(1-x^2)^2}$ y $\varphi''(x) = \dfrac{2x(3+x^2)}{(1-x^2)^3} > 0$ para $x > 0$. Luego $\varphi$ es convexa en $(0,1)$. Por Jensen: $\sum \varphi(a_i) \ge 3\varphi(1/3) = 3 \cdot \dfrac{1/3}{1-1/9} = 3 \cdot \dfrac{1/3}{8/9} = 3 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{8}$. Igualdad en $a=b=c=1/3$. $\square$

Combinando SOS, Schur y EV: estrategia integrada

La estrategia para desigualdades simétricas difíciles en olimpiadas Iberoamericana / Cono Sur sigue este orden de prioridad:

1. Intentar AM-GM o Cauchy-Schwarz directamente (Cap. 1 y 2). Si la desigualdad tiene la forma adecuada, estos métodos son suficientes y la solución es más elegante.

2. Intentar SOS puro. Lleva la desigualdad a la forma $f \ge 0$ y busca $f = \sum S_i(a-b)^2$ con $S_i \ge 0$. Si los $S_i$ son polinomios simétricos no negativos, el trabajo está hecho.

3. Intentar Schur. Si la desigualdad involucra $abc$ con coeficiente positivo y los casos de igualdad incluyen $(a,a,0)$, aplica Schur $t=1$ o $t=2$, posiblemente combinado con AM-GM para los términos restantes.

4. Aplicar EV (mezcla de variables). Reduce a $b=c$ y demuestra la desigualdad en una variable. Verifica los casos extremos $a=b=c$ y $c=0$.

5. Usar Jensen. Si la desigualdad tiene la forma de suma de una función convexa/cóncava.

Problema modelo (integración de los cinco pasos). Para $a,b,c \ge 0$ con $a+b+c=1$, demostrar que $a^3+b^3+c^3+6abc \ge \dfrac{1}{4}$.

Por Schur $(t=1)$: $e_1^3+9e_3 \ge 4e_1 e_2$, es decir $1+9e_3 \ge 4e_2$. La expresión pedida es $p_3+6e_3 = e_1^3-3e_1 e_2+3e_3+6e_3 = 1-3e_2+9e_3$. Queremos $1-3e_2+9e_3 \ge 1/4$, es decir $9e_3 \ge 3e_2 - 3/4$. Por Schur, $9e_3 \ge 4e_2-1$. Basta verificar que $4e_2-1 \ge 3e_2-3/4$, es decir $e_2 \ge 1/4$. ¿Es esto verdad? No necesariamente (para $a=1, b=c=0$ se tiene $e_2=0$). Refinamos: tomamos la combinación $9e_3 \ge 4e_2-1$ (Schur) y $e_2 \le 1/3$ (AM-GM). La desigualdad pedida $1-3e_2+9e_3 \ge 1/4$ es equivalente a $9e_3 \ge 3e_2-3/4$. Si $e_2 \le 1/4$: el lado derecho $3e_2-3/4 \le 0 \le 9e_3$, trivial. Si $e_2 > 1/4$: necesitamos $9e_3 \ge 3e_2-3/4$. Por Schur $9e_3 \ge 4e_2-1$. Basta $4e_2-1 \ge 3e_2-3/4$, es decir $e_2 \ge 1/4$, que es exactamente la hipótesis de este caso. Luego la desigualdad queda demostrada en todos los casos. $\square$