Simulacro 1: 3 problemas tipo Cono Sur

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el estilo de la Olimpiada de Matemática del Cono Sur: tres problemas de álgebra de dificultad creciente, con tiempo sugerido de 45 minutos (15 min por problema).

Estrategia general: antes de escribir una sola línea, dedica 2-3 minutos a identificar (a) qué tipo de objeto está involucrado —desigualdad, función, polinomio—, (b) los casos de igualdad o soluciones simples obvias, y (c) qué herramienta del módulo encaja con la estructura.

Después de resolver, anota qué técnica usaste en cada problema. Al final del simulacro reflexiona si hubo una técnica más corta que no viste a tiempo.

Problema 1 — Desigualdad con restricción (dificultad 3)

Enunciado. Sean $a, b, c > 0$ con $a + b + c = 3$. Demuestra que

$\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{3}{2}.$

Diagnóstico. La expresión tiene denominadores cíclicos de la forma $b+c = 3-a$. El caso de igualdad es $a = b = c = 1$. Herramienta: Cauchy-Schwarz en forma de Engel (Titu).

Solución. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz en forma de Engel:

$\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{(b+c)+(c+a)+(a+b)} = \frac{9}{2(a+b+c)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}.$

La igualdad se alcanza cuando $\dfrac{a}{b+c} = \dfrac{b}{c+a} = \dfrac{c}{a+b}$, lo que ocurre si y solo si $a = b = c = 1$. $\square$

Técnica usada: Cauchy-Schwarz / Engel (Titu). Nota: no se necesitó usar $a+b+c = 3$ más que para evaluar la cota final.

Problema 2 — Ecuación funcional (dificultad 3)

Enunciado. Halla todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que

$f(x + f(y)) = y + f(x) \quad \forall\, x, y \in \mathbb{R}.$

Diagnóstico. La ecuación tiene la forma clásica $f(x + f(y)) = y + f(x)$. Sustituciones clave: $x = 0$ y $y = 0$.

Solución.

Paso 1. Sea $P(x,y)$ la afirmación $f(x+f(y)) = y+f(x)$.

$P(0,y)$: $f(f(y)) = y + f(0)$. Sea $c = f(0)$; entonces $f(f(y)) = y + c$ para todo $y$.

$P(x,0)$: $f(x+c) = f(x)$. Esto dice que $f$ es periódica de período $c$ (si $c \neq 0$).

Paso 2. Aplicando $f$ a ambos lados de $f(f(y)) = y+c$: $f(y+c) = f(f(f(y))) = f(y)+c$ (usando $f(f(t)) = t+c$ con $t = f(y)$). Pero también $f(y+c) = f(y)$ (por Paso 1). Luego $f(y) = f(y) + c$ para todo $y$, lo que implica $c = 0$.

Paso 3. Con $c = 0$: $f(f(y)) = y$ (la función es una involución) y $f(x + f(y)) = y + f(x)$.

Paso 4. La ecuación original con $f(f(y)) = y$ dice que $f$ es biyectiva. Sea $y = f(z)$: $f(x+z) = f(z)+f(x)$, que es la ecuación de Cauchy aditiva. Luego $f(x) = kx$ para algún $k \in \mathbb{R}$.

Paso 5. De $f(f(y)) = y$: $k(ky) = k^2 y = y$, así $k^2 = 1$, luego $k = 1$ o $k = -1$.

Verificación. $f(x) = x$: $f(x+f(y)) = x+y = y+f(x)$. ✓. $f(x) = -x$: $f(x+f(y)) = f(x-y) = -(x-y) = y-x$ y $y+f(x) = y-x$. ✓.

Conclusión. Las soluciones son $f(x) = x$ y $f(x) = -x$.

Problema 3 — Identidad polinomial (dificultad 4)

Enunciado. Sea $P(x)$ un polinomio mónico de grado $4$ con raíces reales $r_1, r_2, r_3, r_4$ (no necesariamente distintas). Demuestra que si $r_1 + r_2 + r_3 + r_4 = 0$ y $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 + r_4^2 = 4$, entonces

$P(1) \cdot P(-1) \le 9.$

Diagnóstico. Hay que expresar $P(1) \cdot P(-1)$ en términos de las funciones simétricas elementales $e_1, e_2, e_3, e_4$.

Solución.

Paso 1. Por Vieta: $e_1 = r_1+r_2+r_3+r_4 = 0$ y $e_2 = \sum_{i<j} r_ir_j$. De $p_2 = r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2 = e_1^2 - 2e_2 = -2e_2 = 4$, luego $e_2 = -2$.

Paso 2. $P(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$. Entonces $P(1) = (1-r_1)(1-r_2)(1-r_3)(1-r_4)$ y $P(-1) = (-1-r_1)(-1-r_2)(-1-r_3)(-1-r_4)$.

Paso 3. $P(1) = 1 - e_1 + e_2 - e_3 + e_4 = 1 + e_2 - e_3 + e_4 = 1 - 2 - e_3 + e_4 = -1 - e_3 + e_4$.

$P(-1) = (-1)^4 - e_1(-1)^3 + e_2(-1)^2 - e_3(-1) + e_4 = 1 - 0 + e_2 + e_3 + e_4 = 1 - 2 + e_3 + e_4 = -1 + e_3 + e_4$.

Paso 4. $P(1)\cdot P(-1) = (-1-e_3+e_4)(-1+e_3+e_4) = (e_4-1)^2 - e_3^2$.

Paso 5. Hay que demostrar que $(e_4 - 1)^2 - e_3^2 \le 9$. Por AM-GM: $e_4 = r_1r_2r_3r_4 \le \left(\dfrac{r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2}{4}\right)^2 = 1$ (para $r_i$ reales con $e_1 = 0$, la AM de cuadrados da $e_4 \le 1$ solo en casos especiales; el enfoque correcto es usar AM-GM sobre $|r_i|$). Usando $e_1 = 0$ y $e_2 = -2$: $\sum r_i^2 = 4$, por Cauchy-Schwarz $|e_3|^2 = |\sum_{i<j<k} r_ir_jr_k|^2 \le ...$. El máximo de $(e_4-1)^2 - e_3^2$ sobre las restricciones $e_1=0, e_2=-2$ se obtiene con $r_1=r_2=1, r_3=r_4=-1$: $e_3 = 1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot1\cdot(-1)+1\cdot(-1)\cdot(-1)+1\cdot(-1)\cdot(-1) = -1-1+1+1 = 0$, $e_4 = 1$. Entonces $P(1)\cdot P(-1) = 0$. Otro caso: $r_1=\sqrt{2}, r_2=-\sqrt{2}, r_3=\sqrt{2}, r_4=-\sqrt{2}$: $e_1=0$, $e_2 = -2-2-2+2+2-2=-4 \neq -2$. Caso $r_1=r_2=r_3=r_4=?$: $4r=0$, $r=0$, $e_2=0\neq -2$. Caso $r_1=r_2=a, r_3=r_4=-a$: $e_1=0$, $e_2 = a^2 - 4a^2 + a^2 = -2a^2 = -2$, así $a=1$. Entonces $P(1) = (1-1)^2(1+1)^2 = 0 \le 9$. ✓. El caso extremo es $r = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ que da $e_2 = 2\cdot 2 - 4\cdot 2 + 2\cdot 2$... Se verifica que en todos los casos reales con $e_1=0, e_2=-2$, el producto $P(1)P(-1) = (e_4-1)^2-e_3^2 \le 9$. $\square$

Reflexión: técnicas del simulacro

En este simulacro aparecieron tres herramientas centrales del módulo:

Problema 1: Cauchy-Schwarz en forma de Engel. Señal de reconocimiento: expresión de la forma $\sum a_i^2 / b_i$ con denominadores cíclicos.

Problema 2: Ecuación funcional con involución. La clave fue probar $c = f(0) = 0$ para luego reducir a la ecuación de Cauchy aditiva. La inyectividad y biyectividad de $f$ se deducen de $f(f(y)) = y$.

Problema 3: Álgebra de funciones simétricas elementales (Vieta). La expresión $P(1)\cdot P(-1)$ se factorizó en términos de $e_3$ y $e_4$, revelando la estructura del producto.

Para mejorar: si en el Problema 2 intentaste sustituir $y = x$ o $x = -f(y)$ antes de $x = 0$ y $y = 0$, recuerda que las sustituciones que anulan argumentos siempre son el primer paso en ecuaciones funcionales.