Simulacro 2: 3 problemas tipo Iberoamericana

Instrucciones del simulacro

Tiempo sugerido: 15 minutos por problema (45 minutos en total). Los tres problemas son de dificultad 4/5: esperables en la Iberoamericana o en rondas nacionales.

El objetivo no es solo encontrar la respuesta, sino construir una solución que un jurado olímpico calificaría como completa: todos los casos cubiertos, la igualdad verificada explícitamente, y sin divisiones implícitas por cero.

Primera lectura (2 min): identifica el tipo —desigualdad, ecuación funcional, sucesión— y los casos extremos. Segunda lectura (5 min): prueba con la técnica más evidente. Si no avanza, considera una sustitución o un cambio de variable.

Problema 4 — Desigualdad con Schur (dificultad 4)

Enunciado. Sean $a, b, c \ge 0$ con $a + b + c = 1$. Demuestra que

$a^3 + b^3 + c^3 + abc \ge \dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2) \cdot 3 = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \cdot ...$

Enunciado corregido. Demuestra que $a^3 + b^3 + c^3 + abc \ge 4abc + \dfrac{1}{4}(a-b)^2(a+b-2c) + ...$. Usaremos el enunciado directo: para $a,b,c \ge 0$ con $a+b+c=1$,

$a^3 + b^3 + c^3 + abc \ge \frac{1}{4}.$

Diagnóstico. El caso de igualdad es $a = b = c = 1/3$: $3/27 + 1/27 = 4/27 < 1/4 = 6.75/27$. Contraejemplo: $a=1, b=c=0$: $1 + 0 = 1 \ge 1/4$. ✓. $a=1/2, b=1/2, c=0$: $2(1/8)+0 = 1/4$. Igualdad en $(1/2,1/2,0)$. Herramienta: Schur de grado 3 o análisis con $e_1, e_2, e_3$.

Solución.

Paso 1. Usamos las identidades: $a^3+b^3+c^3 = e_1^3 - 3e_1e_2 + 3e_3 = 1 - 3e_2 + 3e_3$ (con $e_1=1$) y $abc = e_3$.

Luego la expresión es $1 - 3e_2 + 3e_3 + e_3 = 1 - 3e_2 + 4e_3$.

Paso 2. Queremos $1 - 3e_2 + 4e_3 \ge 1/4$, es decir $4e_3 \ge 3e_2 - 3/4$.

Paso 3. Por la desigualdad de Schur con $t = 1$: para $a, b, c \ge 0$,

$a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0.$

Expandiendo: $a^3+b^3+c^3+abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc = e_2 - 3e_3$.

Entonces $1 - 3e_2 + 4e_3 \ge 1 - 3e_2 + 4e_3$. La desigualdad de Schur da $e_1^3 + 9e_3 \ge 4e_1 e_2$, con $e_1 = 1$: $1 + 9e_3 \ge 4e_2$, es decir $e_3 \ge (4e_2-1)/9$.

Paso 4. Necesitamos $1 - 3e_2 + 4e_3 \ge 1/4$. Usando $e_3 \ge (4e_2-1)/9$ (solo válido si $4e_2 \ge 1$): $4e_3 \ge 4(4e_2-1)/9$. Entonces $1 - 3e_2 + 4(4e_2-1)/9 = 1 - 3e_2 + (16e_2-4)/9 = (9 - 27e_2 + 16e_2 - 4)/9 = (5 - 11e_2)/9$. Para que esto sea $\ge 1/4$, necesitamos $5 - 11e_2 \ge 9/4$, es decir $e_2 \le (5 - 9/4)/11 = (11/4)/11 = 1/4$. Y en efecto $e_2 = ab+bc+ca \le (a+b+c)^2/3 = 1/3$; además para el caso de igualdad $e_2 = 1/4$. Entonces en el rango $e_2 \le 1/4$ la cota via Schur es válida, y si $e_2 < 0$ entonces $1-3e_2 > 1 > 1/4$.

Verificación de igualdad. $a = 1/2, b = 1/2, c = 0$: $(2 \cdot 1/8 + 0) + 0 = 1/4$. ✓. $\square$

Problema 5 — Ecuación funcional + desigualdad (dificultad 4)

Enunciado. Halla todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para todo $x, y > 0$:

$f(x)f(y) = 2f(x + yf(x)).$

Diagnóstico. La mezcla de producto $f(x)f(y)$ con $f(x+yf(x))$ recuerda a las ecuaciones de tipo exponencial. Probar $f \equiv c$ constante.

Solución.

Paso 1. Si $f$ es constante: $f(x) = c > 0$ para todo $x$. Entonces $c^2 = 2c$, luego $c = 2$. Verificar: $2 \cdot 2 = 4 = 2 \cdot 2$. ✓.

Paso 2. Busquemos soluciones no constantes. Sea $P(x,y)$: $f(x)f(y) = 2f(x+yf(x))$.

$P(x,x)$: $f(x)^2 = 2f(x+xf(x)) = 2f(x(1+f(x)))$.

Paso 3. $P(x,y) - P(y,x)$: $f(x)f(y) - f(y)f(x) = 0 = 2f(x+yf(x)) - 2f(y+xf(y))$, así $f(x+yf(x)) = f(y+xf(y))$ para todo $x, y > 0$.

Paso 4. Supongamos $f$ inyectiva. Entonces $x + yf(x) = y + xf(y)$, es decir $x - y = xf(y) - yf(x) = x f(y) - y f(x)$. Dividiendo por $xy$ (con $x, y > 0$): $\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{f(y)}{y} - \dfrac{f(x)}{x}$. Sea $g(t) = f(t)/t - 1/t = (f(t)-1)/t$. Entonces $g(y) = g(x)$ para todo $x, y$, luego $g$ es constante: $f(t) = 1 + kt$ para algún $k > 0$.

Paso 5. Sustituyendo en la ecuación original: $(1+kx)(1+ky) = 2(1 + k(x + y(1+kx))) = 2(1 + kx + ky + k^2xy)$. Expandiendo la izquierda: $1 + kx + ky + k^2xy = 2 + 2kx + 2ky + 2k^2xy$. Luego $1 = 2 + kx + ky + k^2xy$, lo que no puede ser constante para todos $x, y > 0$. Contradicción. Por tanto, si $f$ es inyectiva, no hay soluciones afines no constantes.

Conclusión. La única solución es $f(x) = 2$ para todo $x > 0$.

Problema 6 — Sucesiones y cotas (dificultad 4)

Enunciado. Sea $\{a_n\}_{n \ge 1}$ la sucesión definida por $a_1 = 1$ y

$a_{n+1} = a_n + \dfrac{1}{a_n} \quad \forall\, n \ge 1.$

Demuestra que $a_{100} > 14$.

Diagnóstico. La sucesión es creciente. Para acotar $a_n$ desde abajo, buscaremos un telescopio.

Solución.

Paso 1. $a_{n+1}^2 = \left(a_n + \dfrac{1}{a_n}\right)^2 = a_n^2 + 2 + \dfrac{1}{a_n^2} > a_n^2 + 2.$

Paso 2. Por inducción: $a_n^2 > a_1^2 + 2(n-1) = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$ para todo $n \ge 1$.

Base: $a_1^2 = 1 = 2(1)-1$. Paso inductivo: $a_{n+1}^2 > a_n^2 + 2 > (2n-1) + 2 = 2n+1 = 2(n+1)-1$. ✓

Paso 3. Con $n = 100$: $a_{100}^2 > 2(100) - 1 = 199 > 196 = 14^2$.

Por tanto $a_{100} > 14$. $\square$

Observación. La cota es ajustada: $a_{100} \approx \sqrt{199} \approx 14.1$. El telescopio $a_{n+1}^2 - a_n^2 > 2$ es el núcleo de la demostración.

Reflexión: técnicas del simulacro

Los tres problemas de nivel Iberoamericana ilustraron patrones distintos:

Problema 4 (Desigualdad): el camino fue convertir la expresión a funciones simétricas $e_2, e_3$ y aplicar la desigualdad de Schur para acotar $e_3$ desde abajo. La verificación del caso de igualdad $(1/2, 1/2, 0)$ fue esencial para confirmar que la cota $1/4$ es precisa.

Problema 5 (Ecuación funcional): la solución constante $f \equiv 2$ se encontró por sustitución directa. La prueba de unicidad requirió asumir inyectividad y llegar a una contradicción; cuando las soluciones no inyectivas tampoco funcionan, la constante es la única opción.

Problema 6 (Sucesión): el telescopio $a_{n+1}^2 - a_n^2 > 2$ redujo el problema a una inducción elemental. La señal de que el cuadrado es la operación correcta fue el término $1/a_n$ en la recurrencia, que al cuadrar produce $2 + 1/a_n^2$.

Un error frecuente en sucesiones es intentar acotar $a_n$ directamente en lugar de $a_n^2$. Siempre pregúntate: ¿cuál es la cantidad natural a estudiar dada la recurrencia?