El método SOS (Sum of Squares): teoría y práctica

La idea central: todo cuadrado es no negativo

El método SOS (Suma de Cuadrados) parte de una observación elemental: $(a-b)^2 \geq 0$ para todo $a,b\in\mathbb{R}$, con igualdad si y solo si $a=b$. Si podemos escribir una expresión $E(a,b,c)$ como combinación lineal de cuadrados con coeficientes no negativos, hemos probado que $E\geq 0$ de forma completamente rigurosa y transparente.

En el contexto de desigualdades simétricas en tres variables, el método SOS tiene una forma estándar. Dada una expresión simétrica $p(a,b,c)$ homogénea (que es lo que aparece en el 90% de los problemas IMO de desigualdades), buscamos escribirla como:

$$p(a,b,c) = S_A(a-b)^2 + S_B(b-c)^2 + S_C(c-a)^2,$$

donde $S_A$, $S_B$, $S_C$ son funciones simétricas de $a,b,c$ (no necesariamente constantes). Si podemos demostrar que $S_A, S_B, S_C \geq 0$ bajo las hipótesis del problema (por ejemplo, $a,b,c > 0$), la desigualdad queda probada.

La denominación "$S_A$, $S_B$, $S_C$" proviene de la representación en términos de las diferencias entre pares de variables: $S_A$ es el coeficiente de $(b-c)^2$ (el cuadrado opuesto al vértice $A$), $S_B$ el de $(c-a)^2$, y $S_C$ el de $(a-b)^2$. Este convenio lo popularizó Pham Kim Hung en su influyente texto sobre desigualdades olímpicas.

La potencia del método radica en que convierte una desigualdad global (para todos $a,b,c$) en una colección de desigualdades locales (los coeficientes $S_A, S_B, S_C$ son no negativos), que a menudo son mucho más fáciles de verificar.

Cómo encontrar la descomposición SOS

El procedimiento para encontrar $S_A$, $S_B$, $S_C$ es algebraico y sistemático. Presentamos el algoritmo paso a paso para una desigualdad homogénea de grado $n$ en $a,b,c$.

**Paso 1: Reducir a la forma $p(a,b,c) \geq 0$.** Si la desigualdad es $L(a,b,c) \geq R(a,b,c)$, definir $p = L - R$ y trabajar con $p$.

Paso 2: Verificar la simetría. Si $p$ es simétrica ($p(a,b,c)=p(b,a,c)=\ldots$), los tres coeficientes $S_A=S_B=S_C=S$ (un solo coeficiente), y la representación es $p = S\cdot[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$. Si $p$ es solo cíclica, los tres $S$ pueden ser distintos.

**Paso 3: Substituir $c=b$ para encontrar $S_C$.** Si $p(a,b,b) = S_C(a,b,b)\cdot(a-b)^2$, entonces $S_C(a,b,b) = p(a,b,b)/(a-b)^2$. Verificar que esta expresión se extiende a una función simétrica de $a,b,c$ de forma natural.

**Paso 4: Determinar $S_A$ y $S_B$ por substituciones análogas.** $p(a,b,a) = S_B(a,b,a)\cdot(b-a)^2$ da $S_B$; $p(b,b,c) = S_A(b,b,c)\cdot(b-c)^2$ da $S_A$.

**Paso 5: Verificar la identidad $p = S_A(b-c)^2 + S_B(c-a)^2 + S_C(a-b)^2$** expandiendo ambos lados. A veces aparece un residuo que debe ser tratado por separado.

**Paso 6: Demostrar que $S_A, S_B, S_C \geq 0$** bajo las hipótesis dadas. Esta es la parte donde se usa AM-GM, Schur u otras herramientas si los coeficientes no son manifistamente no negativos.

Si en el paso 3 se obtiene que $p(a,b,b)/(a-b)^2$ toma valores negativos para algunos $a,b,c$ positivos, el método SOS puro no es suficiente y se necesita una representación más refinada (SOS con términos cruzados o una descomposición diferente).

Representación SOS de la desigualdad de Schur

La desigualdad de Schur de grado 1 (que estudiaremos en profundidad en la lección 2.2) afirma que para $a,b,c \geq 0$:

$$a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \geq 0.$$

Expandiendo y reorganizando, el lado izquierdo es $a^3+b^3+c^3+abc - ab(a+b) - bc(b+c) - ca(c+a)$. Denotemos este polinomio $\text{Sch}(a,b,c)$. Su representación SOS es:

$$\text{Sch}(a,b,c) = \frac{1}{2}\bigl[a(a-b)^2 + a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 + c(c-b)^2\bigr] - (a-b)^2(\cdots),$$

que no es inmediatamente de la forma estándar porque los coeficientes dependen de $a,b,c$. La representación correcta es:

$$\text{Sch}(a,b,c) = \frac{a+b-c}{2}(a-b)^2 + \frac{b+c-a}{2}(b-c)^2 + \frac{c+a-b}{2}(c-a)^2 + \text{(corrección)}.$$

Verificación directa: con $S_C = (a+b-c)/2$, $S_A = (b+c-a)/2$, $S_B = (c+a-b)/2$. Note que si $a\leq b\leq c$, entonces $S_B = (c+a-b)/2\geq 0$ pues $c\geq b-a$, $S_A = (b+c-a)/2 \geq 0$ siempre, pero $S_C = (a+b-c)/2$ puede ser negativo cuando $c > a+b$. En ese caso usamos el truco SOS-Schur: "si $S_C < 0$, usamos Schur para absorber el término negativo". Esto lo trabajaremos en la lección 2.2.

El punto clave de este ejemplo es que la representación SOS de Schur tiene coeficientes que pueden ser negativos — pero no todos simultáneamente. El método SOS sigue funcionando porque cuando $S_C < 0$, las variables están en la región donde $c > a+b$, y en esa región los demás términos compensan sobradamente.

Cuándo funciona SOS y cuándo no

El método SOS funciona con garantía cuando la desigualdad es simétrica y homogénea de grado par en variables reales (o positivas). En grado 4 simétricas en dos variables, toda desigualdad no negativa es una suma de cuadrados de polinomios (teorema de Hilbert para $n=2$). En tres o más variables, esto falla en general — el 17° Problema de Hilbert preguntaba si toda forma no negativa es suma de cuadrados de formas racionales, y la respuesta es sí, pero las "formas racionales" no tienen coeficientes polinomiales sino racionales.

El método SOS estándar (coeficientes polinomiales) falla cuando: (i) la desigualdad es estricta solo en el interior del dominio y los coeficientes $S$ son negativos en alguna región; (ii) la desigualdad involucra expresiones no polinomiales como $\sqrt{a}$ o $a^t$ con $t$ no entero; (iii) hay una condición de restricción no lineal (como $abc=1$ o $a^2+b^2+c^2=1$) que no puede capturarse directamente.

Cuándo SOS es la técnica definitiva: en desigualdades homogéneas de grado 4 o 6 en $a,b,c$ simétricas, la representación SOS casi siempre existe y es computable. Ejemplo paradigmático: $a^4+b^4+c^4 \geq a^3b+b^3c+c^3a$ se demuestra inmediatamente via SOS.

La representación SOS-Schur. Cuando $S_C$ es negativo para algunas configuraciones de variables, la técnica estándar es escribir el término problemático como:

$$S_C(a-b)^2 = S_C(a-b)^2$$

y absorberlo usando la desigualdad de Schur aplicada a las variables en la región problemática. Esta combinación SOS+Schur es suficiente para demostrar virtualmente cualquier desigualdad polinomial simétrica de grado $\leq 6$ en tres variables no negativas.

Limitación fundamental: el método SOS no da intuición sobre la "razón" geométrica de la desigualdad ni sugiere cómo generalizar. Para entender *por qué* una desigualdad es verdadera, Muirhead y la mayorización (lección 2.3) suelen ser más iluminadores.

Ejemplo completo: IMO Shortlist 2000 A2 via SOS

Problema. Para reales positivos $a, b, c$ con $abc = 1$, probar que:

$$\left(a - 1 + \frac{1}{b}\right)\left(b - 1 + \frac{1}{c}\right)\left(c - 1 + \frac{1}{a}\right) \leq 1.$$

Reducción. Sustituyendo $a = x/y$, $b = y/z$, $c = z/x$ (con $x,y,z > 0$), la condición $abc=1$ es automática. El factor $a - 1 + 1/b = x/y - 1 + z/y = (x+z-y)/y$, análogamente los otros dos factores. La desigualdad se convierte en:

$$\frac{(x+z-y)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz} \leq 1,$$

es decir, $(x+z-y)(y+x-z)(z+y-x) \leq xyz$.

**Caso 1: algún factor es $\leq 0$.** Si por ejemplo $x+z-y\leq 0$, entonces el producto del lado izquierdo es $\leq 0 < xyz$. La desigualdad es trivial.

Caso 2: los tres factores son positivos. Entonces $x,y,z$ satisfacen la desigualdad triangular. Sean $u=y+z-x>0$, $v=x+z-y>0$, $w=x+y-z>0$. Entonces $x=(v+w)/2$, $y=(u+w)/2$, $z=(u+v)/2$. La desigualdad a probar es $uvw \leq \frac{(v+w)(u+w)(u+v)}{8}$, que se sigue de AM-GM: $v+w\geq 2\sqrt{vw}$, $u+w\geq 2\sqrt{uw}$, $u+v\geq 2\sqrt{uv}$, multiplicando: $(v+w)(u+w)(u+v)\geq 8\sqrt{(vw)(uw)(uv)}=8uvw$.

Comentario SOS. La desigualdad $(v+w)(u+w)(u+v)\geq 8uvw$ es la AM-GM en tres pares, que sí admite descomposición SOS. En efecto, $(v+w)(u+w)(u+v)-8uvw = u(v-w)^2+v(u-w)^2+w(u-v)^2 + 2(u-v)(v-w)(w-u)$... pero el último término puede ser negativo. La descomposición SOS correcta requiere más cuidado. Usando $p=v+w-2\sqrt{vw}\geq 0$, etc., la demostración vía AM-GM es más directa que SOS en este caso, ilustrando que SOS no siempre es el método más económico.

Solución alternativa rigurosa vía SOS puro. Definamos $f(a,b,c) = 1 - (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)$. Bajo $abc=1$, homogeneizando con la substitución estándar, se puede verificar que $f$ tiene representación SOS con coeficientes no negativos. Los detalles de la homogeneización son extensos; en competencia, la ruta vía substitución y AM-GM es preferible. El valor de conocer SOS es reconocer rápidamente si la desigualdad *podría* probarse así.

Problema IMO trabajado íntegramente con SOS

Problema (IMO 2000, Problema 2). Sean $a,b,c>0$ con $abc=1$. Probar que:

$$\left(a-1+\frac{1}{b}\right)\left(b-1+\frac{1}{c}\right)\left(c-1+\frac{1}{a}\right) \leq 1.$$

(Este es el mismo problema — ilustramos aquí una descomposición SOS explícita para la versión equivalente que surge de la substitución.)

**Versión equivalente tras substitución $a=x/y, b=y/z, c=z/x$:** necesitamos $(x+z-y)(y+x-z)(z+y-x) \leq xyz$ para $x,y,z>0$.

Demostración SOS de la versión simétrica. Expandiendo el lado izquierdo:

$$(x+z-y)(y+x-z)(z+y-x) = x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2 - 2(x^2z+y^2x+z^2y) + \ldots$$

(La expansión completa es $x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2 - x^3 - y^3 - z^3 - 2xyz$, que se verifica directamente.)

La desigualdad a demostrar es $x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2 - x^3-y^3-z^3-2xyz \leq xyz$, es decir:

$$x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2.$$

Esta es exactamente la desigualdad de Schur de grado 1 más AM-GM. En forma SOS:

$$x^3+y^3+z^3+3xyz - x^2y-xy^2-y^2z-yz^2-z^2x-zx^2$$

$$= \frac{1}{2}(x+y-z)(x-y)^2 + \frac{1}{2}(y+z-x)(y-z)^2 + \frac{1}{2}(z+x-y)(z-x)^2.$$

Cuando los tres factores lineales son $\geq 0$ (caso en que $x,y,z$ forman un triángulo), cada sumando es $\geq 0$. Cuando alguno es negativo, digamos $x+y<z$, entonces el primer y tercer sumando pueden ser negativos, pero el segundo sumando $\frac{1}{2}(y+z-x)(y-z)^2 \geq 0$ y el producto original $(x+z-y)(y+x-z)(z+y-x)$ tiene un factor negativo, con lo que el LHS de la desigualdad original es $\leq 0 \leq xyz$.

En todos los casos, la desigualdad queda demostrada. $\blacksquare$