Desigualdad de Schur y sus generalizaciones

Enunciado y casos principales

La desigualdad de Schur es el siguiente resultado fundamental: para todo $t\geq 0$ y $a,b,c\geq 0$:

$$a^t(a-b)(a-c) + b^t(b-a)(b-c) + c^t(c-a)(c-b) \geq 0,$$

con igualdad cuando $a=b=c$, o cuando dos de las variables son iguales y la tercera es cero (por ejemplo, $a=b$, $c=0$).

La suma del lado izquierdo es la suma cíclica $\sum_{\mathrm{cyc}} a^t(a-b)(a-c)$, donde la suma recorre las tres permutaciones cíclicas de $(a,b,c)$.

Los dos casos más importantes en olimpiadas son $t=1$ (Schur lineal) y $t=2$ (Schur cuadrático). El caso general $t>0$ se demuestra reduciendo a estos casos o usando continuidad; para $t$ entero positivo, el resultado es un polinomio con coeficientes enteros.

Los casos $t=1$ y $t=2$ reaparecen constantemente en el Shortlist del IMO y en selectivos nacionales. Dominarlos — incluyendo sus formulaciones equivalentes en términos de $p,q,r$ (las funciones simétricas elementales) — es indispensable para el nivel al que apunta este módulo.

Demostración de Schur para $t=1$

**Teorema (Schur $t=1$).** Para $a,b,c\geq 0$:

$$a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \geq 0.$$

Demostración por casos sin pérdida de generalidad. Supongamos $a\geq b\geq c\geq 0$ (la desigualdad es simétrica en $a,b,c$). Agrupamos los tres sumandos de forma conveniente:

Sea $S = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b)$.

Dado que $a\geq b$, tenemos $a-b\geq 0$. Reescribimos:

$$S = (a-b)[a(a-c) - b(b-c)] + c(c-a)(c-b).$$

El segundo término: como $c\leq b\leq a$, tenemos $c-a\leq 0$ y $c-b\leq 0$, luego $c(c-a)(c-b) = c\cdot(-(a-c))\cdot(-(b-c)) = c(a-c)(b-c)\geq 0$.

El primer término: $a(a-c)-b(b-c) = a^2-ac-b^2+bc = (a^2-b^2)-c(a-b) = (a-b)(a+b-c)$.

Luego $S = (a-b)^2(a+b-c) + c(a-c)(b-c)$.

Ambos sumandos son no negativos (el primero porque $a\geq b$, $a+b\geq c$; el segundo porque $c,a-c,b-c\geq 0$). Por lo tanto $S\geq 0$. $\blacksquare$

Condición de igualdad: $S=0$ si y solo si $(a-b)^2(a+b-c)=0$ y $c(a-c)(b-c)=0$. Analizando: si $a=b$ y $c(a-c)(b-c)=0$, entonces $c=0$ o $c=a=b$. Si $a+b=c$, como $a\geq b\geq c$ esto implicaría $c\geq c$... contradicción salvo que $a=b=c=0$. Conclusión: igualdad $\Leftrightarrow$ $a=b=c$ o alguna permutación de $(a,b,0)$.

Formulación en términos de $p, q, r$ y conexión con Newton

Las funciones simétricas elementales de $a,b,c$ son:

$$p = a+b+c, \quad q = ab+bc+ca, \quad r = abc.$$

La desigualdad de Schur $t=1$ expandida es: $a^3+b^3+c^3+abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$.

Usando las identidades estándar $a^3+b^3+c^3 = p^3-3pq+3r$ y $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) = pq-3r$, la desigualdad de Schur $t=1$ se convierte en:

$$p^3 - 3pq + 3r + r \geq pq - 3r,$$

es decir: $p^3 - 4pq + 9r \geq 0$, o equivalentemente:

$$\boxed{9r \geq 4pq - p^3} \quad \Longleftrightarrow \quad r \geq \frac{4pq-p^3}{9}.$$

Esta formulación es extremadamente útil porque da una **cota inferior para $r=abc$** en términos de $p=a+b+c$ y $q=ab+bc+ca$. En muchos problemas donde aparece $abc$ y se conocen $p,q$, esta cota es exactamente lo que se necesita.

Conexión con las desigualdades de Newton. Las desigualdades de Newton-Maclaurin son $e_k^2 \geq e_{k-1}e_{k+1}$ para las funciones simétricas elementales $e_k$. Para $n=3$: $q^2 \geq 3pr$ (que es Newton para $k=2$) y $p^2 \geq 3q$ (Newton para $k=1$, equivalente a $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$). Schur $t=1$ es independiente de Newton y provee información adicional sobre $r$ que Newton no captura.

**La desigualdad de Schur $t=2$** expandida da $a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b$, o en términos de las funciones simétricas de potencias $p_k = a^k+b^k+c^k$: una relación entre $p_4$, $p_3$, $p_2$ y $q,r$ que es demostrable por métodos SOS análogos al caso $t=1$.

Cómo usar Schur para probar otras desigualdades

La estrategia general para aplicar Schur en un problema de competencia es la siguiente:

**Estrategia 1: Reconocer la presencia de $abc$ o $r$.** Cuando en la desigualdad a probar aparece el término $abc$ (o $r$) de manera que necesitamos una cota inferior para él, Schur $t=1$ en la forma $9r\geq 4pq-p^3$ es la herramienta adecuada. Si por el contrario necesitamos una cota superior, usamos AM-GM: $r\leq (p/3)^3$.

Estrategia 2: Reducir a la forma de Schur. Si la desigualdad tiene la forma $\sum_{\mathrm{cyc}} f(a)(a-b)(a-c)\geq 0$ con $f$ creciente y no negativa, se puede comparar con Schur: si $f(a)\geq ca^t$ para la constante y exponente adecuados, la desigualdad se sigue de Schur.

Estrategia 3: Combinar Schur con SOS. Cuando la representación SOS de una desigualdad produce coeficientes $S_A, S_B, S_C$ que no todos son no negativos, Schur permite absorber el término negativo. Explícitamente: si $S_C$ puede ser negativo, escribimos $S_C(a-b)^2 = S_C(a-b)^2$ y sumamos y restamos un múltiplo de Schur para compensar.

**Ejemplo de aplicación: $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$.** Esta es exactamente la expansión de Schur $t=1$, probada arriba.

Ejemplo avanzado. Probar que para $a,b,c>0$: $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$. Por Cauchy-Schwarz (Titu/Engel): el lado izquierdo $\geq \frac{(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})^2 \cdot \ldots}{\ldots}$... este camino se complica. La ruta limpia: demostrar que $\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}\geq a$ equivale a $a^3\geq a(b^2-bc+c^2)$, es decir $a^2\geq b^2-bc+c^2$. Esto no es siempre cierto, luego la estimación término a término falla. El enfoque correcto es sumar las tres desigualdades $\frac{x^3}{D_x}\geq x - \text{(algo)}$ y usar Schur para probar que la suma de los "algo" es $\leq 0$.

Aplicación clásica: $(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Proposición. Para $a,b,c\geq 0$:

$$(a+b+c)^3 + 9abc \geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca).$$

Demostración. En términos de $p,q,r$: el LHS es $p^3+9r$ y el RHS es $4pq$. La desigualdad es $p^3+9r\geq 4pq$, es decir $9r\geq 4pq-p^3$. Esto es exactamente la desigualdad de Schur $t=1$ en la formulación $9r\geq 4pq-p^3$. $\blacksquare$

Importancia. Esta desigualdad es la forma más útil de Schur en competencias porque relaciona directamente las tres funciones simétricas elementales. Aparece frecuentemente en el Shortlist como lema intermedio, no como problema final. Un competidor que la conoce de memoria puede saltarse la demostración y citar "por Schur".

Igualdad: se alcanza cuando $a=b=c$ o cuando algún par es igual y el tercero es cero. Por ejemplo: $a=b=1$, $c=0$ da $(2)^3+0 = 8$ y $4\cdot 2\cdot 1 = 8$. $\checkmark$

Corolario. Para $a+b+c=1$: la desigualdad se convierte en $1+9abc\geq 4(ab+bc+ca)$, o equivalentemente $9abc\geq 4q-1$ donde $q=ab+bc+ca$. Dado que $q\leq p^2/3=1/3$ (por AM-GM), la cota da $9abc\geq 4q-1\geq 4\cdot 0 - 1=-1$... lo cual es trivial. La cota no trivial viene cuando $q$ es grande: si $q=1/3$ (máximo, alcanzado cuando $a=b=c=1/3$), entonces $9abc\geq 4/3-1=1/3$, es decir $abc\geq 1/81$. Esto coincide con AM-GM: $abc\leq (1/3)^3 = 1/27$ y Schur da $abc\geq 1/81$. Las dos cotas juntas pinzan $abc\in[1/81, 1/27]$ cuando $a+b+c=1, ab+bc+ca=1/3$.

Generalización de Schur y variantes útiles

Para $t=2$, la desigualdad de Schur es:

$$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-a)(b-c)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0.$$

Expandida: $a^4+b^4+c^4+a^2bc+ab^2c+abc^2 \geq a^3b+a^3c+b^3a+b^3c+c^3a+c^3b$, equivalente a $p_4+p_1\cdot r \geq p_3\cdot e_1 - \ldots$ (la expansión en $p,q,r$ es más compleja para $t=2$).

**Demostración para $t=2$** (análoga al caso $t=1$, con $a\geq b\geq c\geq 0$):

$$S_2 = (a-b)[a^2(a-c)-b^2(b-c)] + c^2(c-a)(c-b).$$

El segundo término $c^2(c-a)(c-b) = c^2(a-c)(b-c)\cdot(-1)^2/(-1)^2 = c^2(a-c)(b-c)\geq 0$ (pues $a\geq c$, $b\geq c$).

El primer término: $a^2(a-c)-b^2(b-c) = a^3-a^2c-b^3+b^2c = (a-b)(a^2+ab+b^2)-c(a^2-b^2)=(a-b)(a^2+ab+b^2-c(a+b))\geq 0$ pues $a\geq b\geq c$ implica $a^2+ab+b^2\geq (a+b)c$. Luego $S_2\geq 0$. $\blacksquare$

Schur generalizado para funciones convexas (resultado de Vornicu-Schur). Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es convexa y $a\geq b\geq c$, entonces $f(a)(a-b)(a-c)+f(b)(b-a)(b-c)+f(c)(c-a)(c-b)\geq 0$. Esto generaliza Schur ya que $f(x)=x^t$ es convexa para $t\geq 1$.

Importante: para $t\in(0,1)$, $f(x)=x^t$ no es convexa (es cóncava para $x>0$), y sin embargo Schur sigue siendo verdadero. La demostración en ese caso usa un argumento de continuidad o la verificación por casos.