Criterios de irreducibilidad: Eisenstein y variantes

El criterio de Eisenstein

Criterio de Eisenstein. Sea $f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ y sea $p$ un primo tal que:

(i) $p \nmid a_n$,

(ii) $p \mid a_i$ para $i = 0, 1, \ldots, n-1$,

(iii) $p^2 \nmid a_0$.

Entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Demostración. Por el lema de Gauss, basta demostrar que $f$ no tiene factores no triviales en $\mathbb{Z}[x]$. Supongamos $f = gh$ con $g(x)=b_k x^k+\cdots+b_0$ y $h(x)=c_l x^l+\cdots+c_0$, con $1\leq k,l<n$ y $k+l=n$. Reduciendo módulo $p$: $\bar{f} = \bar{g}\bar{h}$ en $\mathbb{F}_p[x]$. Como $p\mid a_0,\ldots,a_{n-1}$ y $p\nmid a_n$, tenemos $\bar{f}(x) = \bar{a}_n x^n$ en $\mathbb{F}_p[x]$. Como $\mathbb{F}_p[x]$ es un DFU, $\bar{g}(x) = \bar{b}_k x^k$ y $\bar{h}(x) = \bar{c}_l x^l$. Luego $p\mid b_i$ para $i<k$ y $p\mid c_j$ para $j<l$. En particular $p\mid b_0$ y $p\mid c_0$, por lo que $p^2\mid b_0 c_0 = a_0$, contradicción con (iii). $\blacksquare$

Ejemplos prototípicos:

$f(x) = x^p - p$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ por Eisenstein con el mismo primo $p$.

$f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 2$: Eisenstein con $p=2$ (coeficientes $a_3=4, a_2=6, a_1=4, a_0=2$ son divisibles por 2, $a_0=2$ no lo es por $4$). Irreducible.

Eisenstein con traslación: $f(x+a)$

El criterio de Eisenstein frecuentemente no aplica directamente al polinomio dado, pero sí a una traslación $g(x) = f(x+a)$. Como $f$ es irreducible si y solo si $g(x) = f(x+a)$ es irreducible (el mapa $x\mapsto x+a$ es un automorphismo de $\mathbb{Z}[x]$), este truco amplía enormemente el alcance del criterio.

**Ejemplo clásico: polinomios ciclotómicos $p$-ésimos.** Sea $\Phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1 = \frac{x^p-1}{x-1}$ para $p$ primo. Queremos probar que $\Phi_p$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Consideremos $g(x) = \Phi_p(x+1) = \frac{(x+1)^p - 1}{x}$. Por el binomio de Newton:

$$g(x) = x^{p-1} + \binom{p}{1}x^{p-2} + \binom{p}{2}x^{p-3} + \cdots + \binom{p}{p-1}.$$

Los coeficientes son $\binom{p}{k}$ para $k=1,\ldots,p-1$: todos divisibles por $p$ (ya que $p\mid\binom{p}{k}$ para $1\leq k\leq p-1$). El coeficiente líder es $1$ (no divisible por $p$). El término independiente es $\binom{p}{p-1}=p$ (divisible por $p$ pero no por $p^2$). ¡Eisenstein con el primo $p$ aplica a $g(x)$! Por tanto $g(x)$ es irreducible, y $\Phi_p(x)$ también es irreducible.

**Otro ejemplo: $f(x)=x^4+1$.** Nota que Eisenstein no aplica directamente (ningún primo divide a $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=0$, $a_3=0$ de forma adecuada). La traslación $g(x)=f(x+1)=x^4+4x^3+6x^2+4x+2$: Eisenstein con $p=2$ aplica. Pero ¡atención! $x^4+1$ es reducible en $\mathbb{F}_2[x]$ (es $(x+1)^4$), pero irreducible en $\mathbb{Z}[x]$. Este es un caso donde la reducción módulo 2 no preserva irreducibilidad (el criterio de Eisenstein vía traslación sí funciona).

Eisenstein generalizado (vía valuaciones). El criterio puede reformularse: si existe una valuación no arquimediana $v$ en $\mathbb{Q}$ tal que $v(a_i) > 0$ para $i<n$, $v(a_n)=0$, y $v(a_0)=1$ (o más generalmente, si el polígono de Newton de $f$ con respecto a $v$ tiene un solo segmento de pendiente $-1/n$), entonces $f$ es irreducible. Esta formulación via polígonos de Newton es el criterio de irreducibilidad de Newton-Eisenstein, y aplica a casos donde varios primos contribuyen.

Criterio de Perron y cota de Cauchy

Criterio de Perron. Sea $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$ mónico de grado $n\geq 2$. Si

$$|a_{n-1}| > 1 + |a_{n-2}| + \cdots + |a_0|,$$

entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.

Idea de la demostración. Si $\alpha$ es una raíz de $f$, la cota de Cauchy dice $|\alpha|<1+\max|a_i|$. El criterio de Perron proviene del análisis del radio espectral: si $|a_{n-1}|> 1+|a_{n-2}|+\cdots+|a_0|$, entonces $f$ tiene exactamente una raíz $\alpha$ con $|\alpha|>1$ (y todas las demás raíces tienen módulo $<1$). Un polinomio con raíces de módulos tan dispares no puede factorizarse (los factores enteros deben tener coeficientes enteros y tener raíces distribuidas de forma incompatible).

Ejemplo. $f(x)=x^5-9x^4+3x^3+2x^2+x+1$: $|a_4|=9 > 1+3+2+1+1=8$... en realidad $9 = 8+1$, justo en el límite, así que Perron no aplica estrictamente. Si fuera $|a_4|>8$, sí aplicaría.

Criterio de Cohn (raro pero útil). Si $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ con coeficientes en $\{0,1,\ldots,b-1\}$ y $f(b)$ es primo, entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$. Ejemplo: $f(x)=x^4+6x^3+2x^2+x+1$ y $b=10$: $f(10)=16211$. Si $16211$ es primo, $f$ es irreducible.

**Criterio de reducción módulo $p$.** Si para algún primo $p$ (con $p\nmid a_n$) el polinomio reducido $\bar{f}\in\mathbb{F}_p[x]$ es irreducible, entonces $f$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$. Este es el criterio más frecuente en competencias cuando Eisenstein no aplica: basta verificar irreducibilidad en el campo finito $\mathbb{F}_p$ (que es finito y computable).

Cómo demostrar irreducibilidad en olimpiadas: estrategia

En un problema de olimpiada que pide demostrar que un polinomio $f\in\mathbb{Z}[x]$ es irreducible, la estrategia estándar es:

1. Intentar Eisenstein directamente. Buscar un primo $p$ que divida a todos los coeficientes no líderes y con $p^2\nmid a_0$.

**2. Hacer una sustitución $x\mapsto x+a$ y aplicar Eisenstein.** El ejemplo de $\Phi_p$ es el prototipo.

3. Reducir módulo un primo pequeño. Verificar en $\mathbb{F}_2$, $\mathbb{F}_3$, $\mathbb{F}_5$ que $\bar{f}$ es irreducible usando la tabla de factorización en cuerpos finitos.

4. Argumentos por grado. Si $f$ fuera reducible, sus factores tendrían grado $k$ y $n-k$. Para cada posible par de grados, mostrar que la factorización es imposible. Por ejemplo, para $f$ de grado 4, los únicos casos son: (1,3) y (2,2). Para el caso (1,3): el factor lineal da una raíz racional, que podemos excluir por el teorema de la raíz racional. Para el caso (2,2): la factorización $f=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ conduce a un sistema sin solución entera.

5. Desigualdades en las raíces. Si todas las raíces de $f$ tienen módulo en $(r_1, r_2)$ para cierto intervalo, y ningún polinomio entero de grado menor tiene todas sus raíces en ese intervalo, entonces $f$ no puede factorizarse.

Advertencia. Irreducible en $\mathbb{Z}[x]$ equivale a irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ por el lema de Gauss (para polinomios primitivos). No confundir con "no tener raíces enteras": un polinomio sin raíces racionales puede ser reducible (e.g., $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=x^4+x^2+1$ no tiene raíces reales pero es reducible en $\mathbb{Z}[x]$).

Problema olímpico: aplicación combinada de criterios

Problema. Probar que $f(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ para todo primo $p$. (Este es el $(p-1)$-ésimo polinomio ciclotómico $\Phi_p(x)$.)

Solución (Eisenstein con traslación). Como demostramos en la sección anterior:

$f(x) = (x^p-1)/(x-1)$. Consideramos $g(x) = f(x+1) = \frac{(x+1)^p - 1}{x}$.

Expandiendo por el binomio: $(x+1)^p = \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}x^k$. Restando 1 y dividiendo por $x$:

$$g(x) = \sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{k-1} = x^{p-1} + px^{p-2} + \binom{p}{2}x^{p-3} + \cdots + \binom{p}{p-2}x + p.$$

Los coeficientes intermedios son $\binom{p}{k}$ para $1\leq k\leq p-1$, todos divisibles por $p$. El coeficiente líder es $1$. El término independiente es $p$, divisible por $p$ pero no por $p^2$. Por Eisenstein con el primo $p$, $g$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

Como la map $x\mapsto x+1$ es un isomorfismo de $\mathbb{Q}[x]$, $f$ es irreducible si y solo si $g=f(x+1)$ es irreducible. Concluimos que $\Phi_p(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ para todo primo $p$. $\blacksquare$