Polinomios ciclotómicos y sus propiedades

Raíces de la unidad y polinomios ciclotómicos

Una **raíz $n$-ésima de la unidad** es una raíz compleja de $x^n - 1$, es decir, un número de la forma $e^{2\pi i k/n}$ para $k=0,1,\ldots,n-1$. Hay exactamente $n$ raíces $n$-ésimas de la unidad, que forman el grupo cíclico $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ bajo la multiplicación.

Una raíz $n$-ésima de la unidad $\zeta$ es primitiva si su orden multiplicativo es exactamente $n$, es decir, $\zeta^k \neq 1$ para $1\leq k < n$. Equivalentemente, $\zeta = e^{2\pi i k/n}$ con $\gcd(k,n)=1$. Hay $\varphi(n)$ raíces primitivas $n$-ésimas de la unidad.

El **$n$-ésimo polinomio ciclotómico** se define como:

$$\Phi_n(x) = \prod_{\substack{k=1 \\ \gcd(k,n)=1}}^{n} \left(x - e^{2\pi i k/n}\right).$$

Es el polinomio mónico de grado $\varphi(n)$ cuyas raíces son exactamente las raíces primitivas $n$-ésimas de la unidad.

Propiedad fundamental de factorización:

$$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x).$$

Esta identidad se verifica porque toda raíz $n$-ésima de la unidad tiene algún orden $d$ que divide a $n$, y es raíz primitiva $d$-ésima. Cada raíz aparece exactamente una vez en el producto.

Coeficientes enteros. Por inducción usando la factorización anterior, $\Phi_n(x)\in\mathbb{Z}[x]$. Si $\Phi_1,\ldots,\Phi_{n-1}$ son polinomios enteros mónicos, entonces $\Phi_n = (x^n-1)/\prod_{d\mid n, d<n}\Phi_d(x)$ es el cociente de dos polinomios enteros mónicos, y es entero por división euclidiana en $\mathbb{Z}[x]$.

Fórmula de inversión de Möbius y cálculo explícito

La función de Möbius $\mu:\mathbb{N}\to\{-1,0,1\}$ se define como: $\mu(1)=1$; $\mu(n)=(-1)^k$ si $n$ es producto de $k$ primos distintos; $\mu(n)=0$ si $p^2\mid n$ para algún primo $p$.

La inversión de Möbius aplicada a la identidad $x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(x)$ (tomando logaritmos formales o trabajando en el grupo de Dirichlet de series de potencias) da:

$$\Phi_n(x) = \prod_{d \mid n} (x^d - 1)^{\mu(n/d)}.$$

Esta fórmula permite calcular $\Phi_n$ explícitamente para cualquier $n$.

Valores explícitos de los primeros ciclotómicos:

$\Phi_1(x) = x-1$.

$\Phi_2(x) = x+1$.

$\Phi_3(x) = x^2+x+1$.

$\Phi_4(x) = x^2+1$.

$\Phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$.

$\Phi_6(x) = x^2-x+1$.

$\Phi_8(x) = x^4+1$.

$\Phi_{12}(x) = x^4-x^2+1$.

$\Phi_{15}(x) = x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$.

Patrón notable. Para $n=p$ primo: $\Phi_p(x) = x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$. Para $n=p^k$: $\Phi_{p^k}(x) = 1+x^{p^{k-1}}+x^{2p^{k-1}}+\cdots+x^{(p-1)p^{k-1}}$. Para $n=2p$ con $p$ primo impar: $\Phi_{2p}(x) = x^{p-1}-x^{p-2}+\cdots-x+1$.

Propiedades aritméticas de $\Phi_n$

Irreducibilidad. $\Phi_n(x)$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ para todo $n\geq 1$. Este es un teorema profundo (no inmediato). La demostración estándar es: si $\Phi_n = fg$ en $\mathbb{Q}[x]$, se demuestra que toda raíz de $f$ es también raíz de $g(x^p)$ para cualquier primo $p\nmid n$ (usando propiedades de los cuerpos ciclotómicos), lo que eventualmente da $f=\Phi_n$.

Evaluación en enteros. Para $a\in\mathbb{Z}$ con $|a|>1$, el valor $\Phi_n(a)$ tiene una descripción aritmética rica:

(i) Todo divisor primo $p$ de $\Phi_n(a)$ satisface $p\equiv 1\pmod{n}$ o $p\mid n$.

(ii) Si $p\mid\Phi_n(a)$ y $p\nmid n$, entonces el orden de $a$ módulo $p$ es exactamente $n$, y en particular $n\mid p-1$ (pequeño teorema de Fermat).

Esto tiene consecuencias número-teóricas importantes: la existencia de infinitos primos $p\equiv 1\pmod{n}$ se sigue de que $\Phi_n(a!)$ tiene divisores primos del tipo correcto (Dirichlet vía ciclotómicos).

**Coeficientes de $\Phi_n$.** Para $n\leq 104$, todos los coeficientes de $\Phi_n$ son $\in\{-1,0,1\}$. El primer polinomio ciclotómico con un coeficiente distinto de $\pm 1$ y $0$ es $\Phi_{105}$ (cuyo coeficiente $-2$ apareció): esto sorprendió a los matemáticos del siglo XIX.

**Fórmula para $n$ con exactamente dos factores primos distintos.** Si $n=p^a q^b$:

$$\Phi_{p^a q^b}(x) = \Phi_{pq}(x^{p^{a-1}q^{b-1}}).$$

Para $n=pq$ con $p<q$ primos:

$$\Phi_{pq}(x) = \frac{\Phi_p(x^q)}{\Phi_p(x)} = \frac{x^{pq}-1}{(x^p-1)(x^q-1)}\cdot(x-1).$$

Aplicaciones en olimpiadas: divisibilidad y factorizaciones

**Aplicación 1: Factorización de $a^n - b^n$.** En olimpiadas aparece frecuentemente la factorización:

$$a^n - b^n = \prod_{d \mid n} \Phi_d(a, b),$$

donde $\Phi_d(a,b) = b^{\varphi(d)}\Phi_d(a/b)$ es la versión homogénea. Los factores $\Phi_d(a,b)$ son relativamente primos "en su mayoría" (salvo por potencias de primos que dividen a $n$), lo que permite estudiar la aritmética de $a^n-b^n$ descomponiendo en factores ciclotómicos.

**Aplicación 2: Primos de la forma $kn+1$.** Usando que todo primo $p\mid\Phi_n(a)$ con $p\nmid n$ satisface $n\mid p-1$, se puede demostrar que hay infinitos primos de la forma $kn+1$ de forma elemental (para $n$ siendo potencia de primo).

**Aplicación 3: $\Phi_n(a)$ y condiciones de divisibilidad.** Problema clásico: demostrar que si $p$ es primo y $p\mid n$, entonces $\Phi_n(a)\equiv \Phi_{n/p}(a^p)\pmod{p}$. Esto permite reducir modularmente el estudio de ciclotómicos.

Aplicación 4: Polinomios que representan muchos primos. El hecho de que $\Phi_p(a)=a^{p-1}+\cdots+1=(a^p-1)/(a-1)$ genera valores $\Phi_p(a)$ que son divisibles solo por primos $\equiv 1\pmod{p}$ (salvo $p$ mismo) implica que hay infinitos primos $\equiv 1\pmod{p}$ (el argumento de Euler-Dirichlet vía ciclotómicos).

Conexión con el teorema de Zsygmondy. El teorema de Zsygmondy (1892) afirma: para $a>b\geq 1$ con $\gcd(a,b)=1$ y $n\geq 3$ (salvo casos excepcionales), $a^n-b^n$ tiene un factor primo que no divide a $a^k-b^k$ para ningún $k<n$. La prueba usa propiedades de $\Phi_n(a,b)$: si $p\mid a^n-b^n$ pero $p\nmid a^k-b^k$ para $k<n$, el orden de $a/b$ módulo $p$ es $n$, y $p$ es un primo "primitivo" de $a^n-b^n$.

Ejemplo resuelto: $\Phi_n$ en un problema IMO Shortlist

Problema (IMO Shortlist 2002, N6 adaptado). Sea $a>1$ un entero. Demostrar que para infinitos $n$, $\Phi_n(a)$ es compuesto.

Solución. Si $n = a^k - 1$ para algún $k\geq 1$, entonces $a\equiv 1\pmod{n}$, luego $\Phi_n(a)\equiv\Phi_n(1)=n^{\varphi(n)/\varphi(n)}=$ ... este argumento no es inmediato.

Usamos una idea diferente: sea $p$ un primo con $p\mid\Phi_n(a)$ y $p\nmid n$. Entonces el orden de $a$ módulo $p$ es $n$, luego $n\mid p-1$, i.e. $p\geq n+1$. Si $\Phi_n(a)$ fuera primo para todos $n$ grandes, $\Phi_n(a)$ sería el único factor primo de sí mismo, y tendríamos $\Phi_n(a) = p\geq n+1$. Pero $\Phi_n(a)\sim a^{\varphi(n)}$ para $a$ fijo y $n\to\infty$, con $\varphi(n)$ creciendo... En realidad, hay infinitos $n$ para los que $\Phi_n(a)$ es compuesto por el siguiente argumento:

Sea $q$ cualquier primo con $q\mid\Phi_n(a)$ y $q\nmid n$. Entonces $n\mid q-1$, así que $q\equiv 1\pmod{n}$. Si $\Phi_n(a)$ fuera primo, entonces $\Phi_n(a)\equiv 1\pmod{n}$. Pero $\Phi_n(1) = p$ si $n=p^k$ (primo), y $\Phi_n(1)=1$ si $n$ tiene $\geq 2$ factores primos distintos. Para $a=2$ y $n=p$, $\Phi_p(2)=2^{p-1}+\cdots+1$: estos valores son primos para $p=2,3,5,7,\ldots$ solo finitas veces (conjeturalmente, aunque no se ha probado). Existen infinitos $n$ con $\Phi_n(2)$ compuesto porque la secuencia incluye valores divisibles por cuadrados perfectos.

El argumento completo para todos $a$ usa la teoría de Aurifeuillean factorizations y propiedades de $\text{ord}_p(a)$, que está más allá del nivel de esta lección.