Simulacro 1: 4 problemas ONEM Combinatoria

Instrucciones del simulacro

Este simulacro replica el formato de la ronda regional ONEM de combinatoria: cuatro problemas de dificultad creciente, tiempo sugerido 60 minutos (15 min por problema).

Practica el proceso completo: leer el problema, identificar la herramienta, explorar casos pequeños, y redactar la solución con justificación completa.

Recuerda que en combinatoria, contar de dos maneras distintas (doble conteo) y el principio de las casillas (pigeonhole) son las técnicas más frecuentes en la ONEM regional.

Problema 1 (Nivel 1): Conteo básico

Problema C1. ¿De cuántas formas se pueden sentar $5$ personas en una fila de $5$ sillas si dos personas en particular (Ana y Beto) no deben sentarse juntas?

Solución. Total de formas sin restricción: $5! = 120$. Formas en que Ana y Beto sí están juntos: tratamos a Ana-Beto como un bloque. El bloque más las otras 3 personas dan $4$ unidades, con $4! = 24$ disposiciones. Dentro del bloque, Ana y Beto pueden intercambiarse: $2$ formas. Total "malas": $24 \times 2 = 48$.

Respuesta: $120 - 48 = 72$ formas.

Problema 2 (Nivel 1-2): Combinaciones con restricción

Problema C2. Un comité de $3$ personas se elige de un grupo de $4$ hombres y $5$ mujeres. ¿De cuántas formas se puede elegir el comité si debe tener al menos $1$ mujer?

Solución. Total de comités de $3$ personas de $9$: $\binom{9}{3} = 84$. Comités con $0$ mujeres (solo hombres): $\binom{4}{3} = 4$.

Comités con al menos $1$ mujer: $84 - 4 = 80$.

Verificación por casos: $1M + 2H$: $\binom{5}{1}\binom{4}{2} = 5 \cdot 6 = 30$. $2M + 1H$: $\binom{5}{2}\binom{4}{1} = 10 \cdot 4 = 40$. $3M + 0H$: $\binom{5}{3} = 10$. Total: $30+40+10 = 80$. ✓

Problema 3 (Nivel 2): Principio de las casillas

Problema C3. En un conjunto de $10$ enteros distintos, demuestra que existen dos cuya diferencia es divisible por $9$.

Solución. Considera los residuos módulo $9$: $0, 1, 2, \ldots, 8$ (9 residuos posibles). Tenemos $10$ enteros y $9$ residuos posibles. Por el principio de las casillas (pigeonhole), al menos dos de los $10$ enteros tienen el mismo residuo módulo $9$. Si $a \equiv b \pmod{9}$, entonces $9 \mid a - b$.

Nota: los enteros son distintos, así que $a \neq b$; la diferencia $a - b \neq 0$ es divisible por $9$. ✓

Problema 4 (Nivel 2): Doble conteo

Problema C4. En un torneo de $n$ jugadores en que cada par juega exactamente una vez, el total de partidas es $\binom{n}{2}$. Demuestra esta fórmula por doble conteo y calcula el número de partidas en un torneo de $8$ jugadores.

Solución por doble conteo. Contamos los pares $(\text{jugador}_i, \text{jugador}_j)$ con $i < j$. Cada partida corresponde a un par, y cada par juega exactamente una partida. El número de pares de jugadores distintos (sin importar el orden) es $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Para $n = 8$: $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ partidas.

Verificación por suma de grados: cada jugador juega contra $n-1$ rivales. La suma total de partidas por jugador es $n(n-1)$, y como cada partida se contó dos veces (una por cada jugador), el número de partidas es $n(n-1)/2 = \binom{n}{2}$. ✓