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Ángulos inscritos: el teorema que aparece en todo

Lección 1.1·Capítulo 1 — Ángulos y rectas·8 min·Piloto
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El contenido pedagógico de esta lección ya está completo y lo puedes leer abajo. El video con la voz de Eduardo Espinoza Ramos se produce según la Política de IA.

Disclosure de IA: al publicarse, este contenido reproducirá digitalmente, con autorización expresa del autor, la voz y fisonomía de Eduardo Espinoza Ramos. Curaduría revisada por matemáticos profesionales. Política completa →

Objetivo de la lección

Enunciar y demostrar el Teorema del Ángulo Inscrito, reconocer sus corolarios fundamentales, e iniciar la técnica de persecución de ángulos en problemas olímpicos.

La sorpresa del ángulo desde el borde

Coloca tres puntos AA, BB, CC en una circunferencia. El segmento ABAB forma un arco. Ahora, ¿cuánto mide el ángulo ∠ACB\angle ACB que CC ve al mirar desde el borde hacia la cuerda ABAB?

La respuesta es siempre la misma, sin importar dónde pongas CC en el arco. Siempre. Eso es el Teorema del Ángulo Inscrito, y es la base de toda la geometría olímpica en circunferencias.

Este teorema aparece, directamente o disfrazado, en la mayoría de los problemas de geometría de las olimpiadas nacionales latinoamericanas. Si no lo conoces perfectamente, estás empezando con una mano atada.

El teorema: enunciado y demostración

Teorema del Ángulo Inscrito. Sea OO el centro de una circunferencia. Si AA, BB, CC son puntos de la circunferencia con CC en el arco que no contiene al ángulo central ∠AOB\angle AOB, entonces ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB.

Demostración (caso en que OO está dentro del ángulo ∠ACB\angle ACB). Traza el radio COCO. En el triángulo OACOAC, como OA=OCOA = OC (radios), el triángulo es isósceles, así ∠OAC=∠OCA\angle OAC = \angle OCA. Entonces el ángulo exterior ∠AOCext=2∠OCA\angle AOC_{\text{ext}} = 2\angle OCA. El argumento análogo para el triángulo OBCOBC da ∠BOCext=2∠OCB\angle BOC_{\text{ext}} = 2\angle OCB. Sumando: ∠AOB=2∠ACB\angle AOB = 2\angle ACB.

El resultado neto: ∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB. El ángulo central duplica al ángulo inscrito sobre el mismo arco.

∠ACB=12 ∠AOB\angle ACB = \tfrac{1}{2}\,\angle AOB
📐 Diagrama interactivo

Los corolarios que más usarás

Corolario 1 (ángulos sobre el mismo arco son iguales). Si CC y DD están en el mismo arco respecto de la cuerda ABAB, entonces ∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB. (Ambos son la mitad del mismo ángulo central.)

Corolario 2 (ángulo en semicírculo = 90°). Si ABAB es diámetro, entonces ∠AOB=180°\angle AOB = 180°, así cualquier ángulo inscrito sobre ABAB mide exactamente 90°90°. Este corolario aparece en decenas de problemas olímpicos.

Corolario 3 (cuadrilátero inscrito). En un cuadrilátero ABCDABCD inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios: ∠A+∠C=180°\angle A + \angle C = 180° y ∠B+∠D=180°\angle B + \angle D = 180°.

Persecución de ángulos: así se usa en competencia

La persecución de ángulos (angle chasing) es la técnica de asignar variables a ángulos desconocidos y usar relaciones —ángulos inscritos, isósceles, suma interior— para resolverlos. Es el pan de cada día en geometría olímpica.

Protocolo: (1) identifica qué arcos comparten los ángulos que buscas, (2) marca los ángulos iguales por inscripción, (3) usa triángulos isósceles cuando hay radios, (4) suma ángulos de triángulos para cerrar el sistema.

En las siguientes lecciones aplicaremos esta técnica en problemas reales de la ONEM y del Cono Sur. Por ahora, practica con los problemas de abajo.

Problemas del Capítulo 1 — con solución

6 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

1.1★

En una circunferencia, ∠AOB=130°\angle AOB = 130° donde OO es el centro. Calcula el ángulo inscrito ∠ACB\angle ACB donde CC es un punto del arco mayor ABAB.

1.2★★

Sea ABAB el diámetro de una circunferencia y CC un punto de la circunferencia distinto de AA y BB. Demuestra que ∠ACB=90°\angle ACB = 90°.

1.3★★

En un cuadrilátero inscrito ABCDABCD, ∠A=75°\angle A = 75°. Calcula ∠C\angle C.

1.4★★Persecución de ángulos

En la circunferencia de centro OO, ∠BAC=40°\angle BAC = 40° y BB, CC están en la circunferencia. Calcula ∠BOC\angle BOC.

1.5★★★ONEM adaptado

Dos cuerdas ACAC y BDBD de una circunferencia se cortan en el punto PP interior. Expresa ∠APB\angle APB en términos de los arcos AB⌢\overset{\frown}{AB} y CD⌢\overset{\frown}{CD}.

1.6★★★Clásico olimpiadas

Demuestra que en cualquier triángulo ABCABC inscrito en una circunferencia con centro OO, se cumple ∠BOC=2∠BAC\angle BOC = 2\angle BAC.

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