Lección 1.2: Ángulos alternos, correspondientes y cointermos — Espinoza Olimpiadas

El escenario: dos paralelas y una transversal

Imagina dos rectas paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$ cortadas por una tercera recta $t$ (la transversal). Esta configuración crea ocho ángulos en total: cuatro alrededor de cada punto de intersección. Antes de nombrarlos, observa que todo el poder de las paralelas viene de una sola idea: la transversal forma el mismo ángulo con ambas rectas. Eso es, en esencia, la definición de paralelismo.

Los ocho ángulos se agrupan en tres relaciones clave. Aprenderlas bien no es cuestión de memoria —es cuestión de ver la geometría: ¿qué posición relativa ocupan los dos ángulos? ¿Están del mismo lado? ¿Enfrentados? ¿Atrapados entre las paralelas? La posición lo dice todo.

En la lección anterior vimos que los ángulos inscritos sobre el mismo arco son iguales. Aquí veremos el análogo para rectas: los ángulos formados simétricamente respecto a la transversal también son iguales. Es la misma música con distinto instrumento.

Los tres pares fundamentales

Ángulos alternos internos. Son los ángulos que quedan entre las dos paralelas ( $\ell_1$ y $\ell_2$ ) y a lados opuestos de la transversal $t$ . Se llaman "alternos" porque alternan de lado. El teorema dice: si $\ell_1 \parallel \ell_2$ , entonces los ángulos alternos internos son iguales. Por ejemplo, si la transversal forma un ángulo de $70°$ a la izquierda entre las paralelas en $\ell_1$ , entonces forma exactamente $70°$ a la derecha entre las paralelas en $\ell_2$ .

Ángulos correspondientes. Son los ángulos que ocupan la misma "posición relativa" en cada intersección: ambos arriba-a-la-derecha, o ambos abajo-a-la-izquierda, etc. Son como copias de sí mismos trasladadas a lo largo de la transversal. El teorema: si $\ell_1 \parallel \ell_2$ , los ángulos correspondientes son iguales. En muchos problemas verás la notación $\angle 1 = \angle 5$ o $\angle 2 = \angle 6$ cuando los ángulos se numeran del 1 al 8.

Ángulos cointeriores (o co-internos, también llamados ángulos del mismo lado de la transversal). Son los que quedan entre las paralelas pero del mismo lado de $t$ . Estos no son iguales: son suplementarios, es decir, suman $180°$ . El teorema: si $\ell_1 \parallel \ell_2$ , los ángulos cointeriores suman $180°$ .

\ell_1 \parallel \ell_2 \implies \text{alternos iguales},\; \text{correspondientes iguales},\; \text{cointeriores suplementarios}

Diagrama interactivo "parallel-lines-transversal" — en construcción.

Demostración: la suma de ángulos del triángulo es 180°

Este teorema clásico es una consecuencia directa de las paralelas. Sea $\triangle ABC$ cualquier triángulo. Traza por $B$ una recta $m$ paralela a $\overline{AC}$ . Ahora tienes la recta $m$ paralela a $AC$ , cortada por las transversales $AB$ y $BC$ .

Por ángulos alternos internos (transversal $AB$ cortando $m \parallel AC$ ): $\angle BAC = \angle ABM$ donde $M$ es el punto en $m$ a la izquierda de $B$ . Por ángulos alternos internos (transversal $BC$ cortando $m \parallel AC$ ): $\angle BCA = \angle CBN$ donde $N$ está a la derecha de $B$ sobre $m$ . Los tres ángulos $\angle ABM$ , $\angle ABC$ y $\angle CBN$ forman un ángulo llano sobre la recta $m$ : $\angle ABM + \angle ABC + \angle CBN = 180°$ .

Sustituyendo: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180°$ . Así, la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es $180°$ . Este resultado, que parece elemental, depende absolutamente del paralelismo. En geometría esférica, donde no hay paralelas, la suma puede ser mayor que $180°$ .

\angle A + \angle B + \angle C = 180°

Cómo usar estas relaciones en persecución de ángulos

En los problemas olímpicos, las paralelas raramente se dan explícitamente: hay que encontrarlas o construirlas. La estrategia más poderosa es trazar una paralela auxiliar cuando tienes un ángulo difícil de relacionar con otro. Si el ángulo buscado está en un vértice aislado, traza por ese vértice una paralela a alguna recta relevante del diagrama. Los ángulos alternos o correspondientes aparecen de inmediato.

La conexión con la lección 1.1 es directa: en muchos problemas con circunferencias, identificar cuándo dos cuerdas son paralelas (porque subtienden arcos iguales) te permite usar alternos internos para concluir igualdades de ángulos. Si $\angle BAC = \angle DCA$ (ángulos inscritos iguales sobre el mismo arco), entonces $AB \parallel CD$ . Es el mismo razonamiento a la inversa.

Un truco recurrente en la ONEM: cuando ves que la suma de dos ángulos de un polígono da $180°$ , busca inmediatamente si hay paralelas. Los cointeriores sumando $180°$ son la firma de que dos lados son paralelos. En cuadriláteros, si un par de lados opuestos es paralelo, tienes un trapezoide con todas sus propiedades angulares.

Recíprocos: cómo probar que dos rectas son paralelas

Cada uno de los tres teoremas tiene un recíproco, igualmente importante. Si los ángulos alternos internos son iguales, entonces las rectas son paralelas. Si los correspondientes son iguales, las rectas son paralelas. Si los cointeriores suman $180°$ , las rectas son paralelas. En competencia, estos recíprocos son la herramienta para demostrar paralelismo: muestras la igualdad angular y concluyes la igualdad geométrica.

Por ejemplo, en un triángulo $\triangle ABC$ con punto $D$ en $\overline{BC}$ , si quieres probar que $\overline{AD}$ es paralelo a alguna recta exterior, calcula los ángulos que $\overline{AD}$ forma y busca si coinciden con los ángulos alternos correspondientes en esa recta exterior. Cuando los números encajan, el paralelismo queda probado sin necesidad de más argumentos.

En problemas de la ONEM nivel 1, las preguntas sobre paralelas suelen tener esta forma: te dan una figura con ángulos marcados y te piden calcular un ángulo desconocido. El método eficiente siempre pasa por identificar qué pares de ángulos son alternos, correspondientes o cointeriores, y escribir las ecuaciones correspondientes. Con dos o tres ecuaciones, el sistema se resuelve solo.

Problema resuelto: la técnica en acción

Problema. Dos rectas paralelas $\ell_1 \parallel \ell_2$ son cortadas por una transversal $t$ . La transversal forma un ángulo de $55°$ con $\ell_1$ (ángulo entre $t$ y $\ell_1$ , medido a la derecha hacia arriba). Calcula todos los ángulos formados en ambas intersecciones.

Solución. En la intersección con $\ell_1$ : los cuatro ángulos son $55°$ , $125°$ , $55°$ , $125°$ (ángulos opuestos por el vértice son iguales, adyacentes son suplementarios). En la intersección con $\ell_2$ : por ángulos correspondientes (o alternos), los cuatro ángulos son exactamente los mismos: $55°$ , $125°$ , $55°$ , $125°$ . Los cointeriores por el mismo lado suman $55° + 125° = 180°$ , confirmando la suplementariedad.

Reflexión. Observa que con un solo dato ( $55°$ ) calculamos los ocho ángulos. Eso es el poder de las paralelas: un ángulo determina todo. En la persecución de ángulos, cuando hay paralelas en el diagrama, siempre se puede reducir el número de incógnitas de esta manera.

Ángulos alternos, correspondientes y cointeriores