Lección 1.3: Cuadriláteros inscriptos — Espinoza Olimpiadas

Qué es un cuadrilátero inscripto

Un cuadrilátero inscripto (o cíclico) es un cuadrilátero cuyos cuatro vértices pertenecen a una misma circunferencia. No todo cuadrilátero puede inscribirse: un rectángulo sí (de hecho, cualquier rectángulo es inscripto); un paralelógramo sin ángulos rectos en general no. La pregunta "¿se puede inscribir este cuadrilátero?" es equivalente a preguntar si existe una circunferencia que pase por los cuatro vértices, es decir, si los cuatro puntos son concíclicos.

Este concepto es la extensión natural del ángulo inscrito estudiado en la lección 1.1. Allí vimos que tres puntos sobre una circunferencia determinan un ángulo inscrito. Ahora ponemos cuatro puntos y miramos las relaciones angulares que emergen. El resultado es tan limpio que aparece en casi todos los problemas olímpicos de geometría con circunferencias.

En la ONEM y las olimpiadas del Cono Sur, reconocer que cuatro puntos son concíclicos —y aprovechar esa información— es una de las habilidades más rentables que puedes desarrollar. Muchos problemas se "abren" en el instante en que detectas la conciclinidad correcta.

Teorema central: ángulos opuestos suplementarios

Teorema. En un cuadrilátero inscripto $ABCD$ , los ángulos opuestos son suplementarios: $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ y $\angle ABC + \angle CDA = 180°$ .

Demostración. Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita. El ángulo inscrito $\angle DAB$ subtiende el arco $BCD$ (el arco que va de $B$ a $D$ pasando por $C$ , que no contiene a $A$ ). Por el Teorema del Ángulo Inscrito, $\angle DAB = \frac{1}{2}\cdot\text{arco}(BCD)$ . Análogamente, el ángulo inscrito $\angle BCD$ subtiende el arco $BAD$ (el arco de $B$ a $D$ pasando por $A$ , que no contiene a $C$ ), luego $\angle BCD = \frac{1}{2}\cdot\text{arco}(BAD)$ .

Los arcos $BCD$ y $BAD$ juntos forman la circunferencia completa: $\text{arco}(BCD) + \text{arco}(BAD) = 360°$ . Por lo tanto, $\angle DAB + \angle BCD = \frac{1}{2}\cdot 360° = 180°$ . La demostración para el otro par de ángulos opuestos es idéntica.

\angle DAB + \angle BCD = 180°,\quad \angle ABC + \angle CDA = 180°

Diagrama interactivo "cyclic-quadrilateral" — en construcción.

El recíproco: criterio para probar conciclinidad

Teorema recíproco. Si en un cuadrilátero $ABCD$ se cumple que $\angle DAB + \angle BCD = 180°$ , entonces $ABCD$ es inscriptible (sus cuatro vértices son concíclicos).

Este recíproco es una herramienta de demostración: cuando quieres probar que cuatro puntos están en una misma circunferencia, calcula los ángulos del cuadrilátero que forman y verifica que los opuestos suman $180°$ . En muchos problemas olímpicos, la conciclinidad no se da como hipótesis sino que hay que descubrirla y demostrarla. El criterio de los ángulos opuestos suplementarios es el más directo.

Existe un segundo criterio equivalente: cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son concíclicos si y solo si $\angle BAC = \angle BDC$ (ángulos inscritos sobre el mismo lado de la cuerda $BC$ ). Este criterio viene directamente del Corolario 1 de la lección 1.1 —ángulos sobre el mismo arco son iguales— y a veces es más conveniente que el criterio de ángulos opuestos.

El ángulo exterior de un cuadrilátero inscripto

Si extiendes el lado $\overline{AB}$ del cuadrilátero inscripto $ABCD$ más allá de $B$ , formas un ángulo exterior en $B$ , que llamaremos $\angle CBE$ donde $E$ está en la prolongación de $AB$ . Este ángulo exterior es suplementario con $\angle ABC$ (son adyacentes sobre una recta). Como $\angle ABC + \angle CDA = 180°$ , concluimos que $\angle CBE = \angle CDA$ .

Enunciado. El ángulo exterior de un cuadrilátero inscripto en un vértice es igual al ángulo interior opuesto. Formalmente: $\angle CBE = \angle CDA$ .

Este resultado es extremadamente útil en problemas de persecución de ángulos. Cuando ves un cuadrilátero inscripto con un lado prolongado, de inmediato tienes un par de ángulos iguales que pueden conectar partes alejadas del diagrama. La conexión con la lección 1.1 es total: todo este resultado no es más que el Teorema del Ángulo Inscrito aplicado con cuidado a cuatro puntos.

\angle\text{ext. en }B = \angle\text{int. opuesto }D

Aplicaciones a problemas olímpicos

Problema tipo ONEM. En el cuadrilátero inscripto $ABCD$ , $\angle A = 3x + 10°$ y $\angle C = 2x + 30°$ . Calcula $x$ y los cuatro ángulos.

Solución. Por el teorema, $\angle A + \angle C = 180°$ : $(3x+10°) + (2x+30°) = 180°$ , entonces $5x + 40° = 180°$ , luego $x = 28°$ . Los ángulos: $\angle A = 94°$ , $\angle C = 86°$ . Si además $\angle B = 70°$ , entonces $\angle D = 180° - 70° = 110°$ . Verifica: $94° + 86° = 180°$ ✓ y $70° + 110° = 180°$ ✓.

Estrategia general. En problemas con varios círculos o con puntos que posiblemente son concíclicos, el protocolo es: (1) listar todos los grupos de cuatro puntos que podrían ser concíclicos, (2) para cada grupo, intentar probar conciclinidad (ángulos opuestos suplementarios o ángulos sobre la misma cuerda iguales), (3) una vez probada la conciclinidad, explotar el cuadrilátero inscripto. En la ONEM nivel 1, el paso (2) suele ser inmediato por la construcción del problema.

Configuraciones especiales y errores frecuentes

Rectángulos y cuadrados. Todo rectángulo es inscripto (sus cuatro vértices están en el círculo cuyo diámetro es la diagonal, por el Corolario 2 de la lección 1.1). En un rectángulo $ABCD$ , $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$ , y efectivamente $90° + 90° = 180°$ en cada par opuesto.

Trapecios isósceles. Un trapecio es inscripto si y solo si es isósceles. Esto se puede probar con los ángulos: en un trapecio con $AB \parallel CD$ , los ángulos $\angle A$ y $\angle D$ son cointeriores respecto a la transversal $AD$ , luego suman $180°$ cuando el trapecio está inscripto, lo que fuerza $\angle A = \angle B$ (base igual). Es el nexo entre las lecciones 1.2 y 1.3.

Error frecuente. Suponer que todo cuadrilátero es inscripto. No lo es. Un paralelógramo $ABCD$ con $\angle A = 60°$ tiene $\angle C = 60°$ (ángulos opuestos en un paralelógramo son iguales), pero para ser inscripto necesitaría $\angle A + \angle C = 180°$ , es decir $120° = 180°$ , que es absurdo. La única excepción es el rectángulo (paralelógramo con $\angle A = 90°$ ).

Cuadriláteros inscriptos