Persecución de ángulos: la técnica

¿Qué es la persecución de ángulos?

La persecución de ángulos (en inglés, *angle chasing*) es la técnica de asignar variables o valores concretos a ángulos desconocidos en un diagrama geométrico y luego usar las relaciones angulares conocidas —ángulos inscritos, ángulos en paralelas, triángulos isósceles, suma de ángulos— para deducir el valor de todos los ángulos del diagrama, hasta llegar al que nos piden. Es la técnica más fundamental de la geometría olímpica elemental.

No es una técnica de fuerza bruta. Es una técnica dirigida: en cada paso eliges qué relación aplicar según lo que ya sabes y lo que necesitas. La diferencia entre un alumno que la domina y uno que no está en si puede ver qué relación conecta dos ángulos aparentemente desvinculados. Las lecciones anteriores —ángulos inscritos (1.1), paralelas (1.2), cuadriláteros inscriptos (1.3)— son exactamente el repertorio de relaciones que necesitas.

En la ONEM nivel 1 (y en las primeras rondas de olimpiadas del Cono Sur), la persecución de ángulos resuelve directamente entre el 40% y el 60% de los problemas de geometría. Si logras ejecutarla sin errores en 5 a 8 minutos, tienes una ventaja enorme en competencia.

El protocolo de 4 pasos

Paso 1 — Leer el diagrama. Antes de escribir una sola ecuación, observa el diagrama completo. Identifica: ¿hay circunferencias? ¿qué puntos están en cada circunferencia? ¿hay rectas paralelas explícitas o implícitas? ¿hay triángulos isósceles (dos lados iguales o dos radios)? ¿hay diámetros? Marca con colores o símbolos los ángulos que sospechas que son iguales. Esta fase tarda 1 a 2 minutos y determina el 80% del éxito.

Paso 2 — Asignar variables. Nombra con letras (generalmente $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ o simplemente $x$, $y$, $z$) los ángulos desconocidos clave. No nombres todos los ángulos: solo los que son genuinamente independientes. Si hay una circunferencia y varios ángulos inscritos sobre el mismo arco, solo uno de ellos es independiente.

Paso 3 — Escribir las ecuaciones. Cada relación angular que reconoces se convierte en una ecuación. Ángulo inscrito = mitad del central → ecuación. Alternos internos iguales → ecuación. Suma de ángulos de triángulo = $180°$ → ecuación. Ángulos opuestos de cuadrilátero inscripto = $180°$ → ecuación. Escríbelas todas, sin importar si parecen obvias.

Paso 4 — Resolver y verificar. Resuelve el sistema de ecuaciones. Luego verifica: ¿los ángulos del triángulo suman $180°$? ¿los ángulos opuestos del cuadrilátero inscripto suman $180°$? Si algo no cierra, hay un error en el paso 3. La verificación no es opcional: en competencia, una solución incorrecta por un error de signo no recibe puntos.

Ejemplo resuelto 1: persecución básica con circunferencia

Problema. En una circunferencia de centro $O$, los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ están en orden sobre la circunferencia. Se sabe que $\angle AOB = 80°$ y $\angle COD = 60°$. Calcula $\angle ABC + \angle ADB$ sabiendo que $B$ y $D$ están en el mismo arco respecto a $\overline{AC}$.

Paso 1. Hay una circunferencia con cuatro puntos. $\angle AOB$ y $\angle COD$ son ángulos centrales. Buscamos ángulos inscritos. No hay paralelas explícitas. Hay cuadrilátero inscripto $ABCD$.

Pasos 2 y 3. Sea $\alpha = \angle ABC$ (ángulo inscripto sobre el arco $ADC$ que no contiene a $B$) y $\beta = \angle ADB$ (ángulo inscripto sobre el arco $AB$ que no contiene a $D$). Por el Teorema del Ángulo Inscrito: $\beta = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}\cdot 80° = 40°$. Para $\alpha$: el arco $ADC = \text{arco}(AD) + \text{arco}(DC)$. Usando el dato $\angle COD = 60°$: arco $DC = 60°$. El arco $AOB = 80°$, luego arco $AB = 80°$. El total de la circunferencia es $360°$, así arco $ADC = 360° - 80° = 280°$, entonces $\alpha = \frac{1}{2}\cdot 280° = 140°$.

Paso 4. $\angle ABC + \angle ADB = 140° + 40° = 180°$. Verificación: $ABCD$ inscripto → $\angle ABC + \angle ADC = 180°$... (aquí $\angle ADB$ es parte de $\angle ADC$, lo cual es consistente con la construcción). Respuesta: $\boxed{180°}$.

Ejemplo resuelto 2: combinar paralelas con circunferencias

Problema (estilo ONEM nivel 1). En la figura, $AB$ es diámetro de la circunferencia de centro $O$. El punto $C$ está en la circunferencia con $\angle BAC = 35°$. La recta $CT$ es tangente a la circunferencia en $C$. Calcula $\angle BCT$.

Paso 1. $AB$ es diámetro → $\angle ACB = 90°$ (Corolario 2 de lección 1.1). Hay un ángulo inscripto $\angle BAC = 35°$. Hay una tangente en $C$. Recuerdo: el radio hacia el punto de tangencia es perpendicular a la tangente, luego $\overline{OC} \perp CT$.

Pasos 2 y 3. Sea $x = \angle BCT$. En el triángulo $\triangle ABC$: $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$, luego $35° + \angle ABC + 90° = 180°$, entonces $\angle ABC = 55°$. El ángulo $\angle OCT = 90°$ (radio perpendicular a tangente). Como $O$ es el centro y $OB = OC$ (radios), $\triangle OBC$ es isósceles con $\angle OBC = \angle OCB = 55°$. Entonces $\angle OCT = \angle OCB + \angle BCT$, es decir $90° = 55° + x$, luego $x = 35°$.

Verificación. $\angle BCT = 35° = \angle BAC$. Este resultado no es coincidencia: el ángulo entre una tangente y una cuerda es igual al ángulo inscripto sobre el mismo arco. Aquí ves cómo la persecución de ángulos redescubre un teorema al mismo tiempo que resuelve el problema.

Ejemplo resuelto 3: cuadrilátero inscripto más paralelas (ONEM completo)

Problema. $ABCD$ es un cuadrilátero inscripto en una circunferencia. Las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cortan en $P$. Se sabe que $\angle DBC = 28°$ y $\angle ACD = 34°$. Calcula $\angle APB$.

Paso 1. Cuadrilátero inscripto con diagonales. Ángulos inscritos relevantes: $\angle DBC$ sobre el arco $DC$, y $\angle ACD$ sobre el arco $AD$. El punto $P$ es la intersección de las diagonales. Busco $\angle APB$.

Pasos 2 y 3. Por el Teorema del Ángulo Inscrito: $\angle DBC = \angle DAC$ (ambos inscritos sobre el arco $DC$ que no contiene a $A$ ni $B$), luego $\angle DAC = 28°$. También $\angle ACD = \angle ABD$ (ambos inscritos sobre el arco $AD$ que no contiene a $B$ ni $C$), luego $\angle ABD = 34°$. Ahora miro el triángulo $\triangle APB$: sus ángulos son $\angle PAB$, $\angle ABP$ y $\angle APB$. Tenemos $\angle PAB = \angle DAC = 28°$ (es el mismo ángulo, pues $P$ está en $\overline{AC}$) y $\angle ABP = \angle ABD = 34°$ (pues $P$ está en $\overline{BD}$). Entonces: $\angle APB = 180° - 28° - 34° = 118°$.

Verificación. $\angle APB = 118°$, luego el ángulo opuesto $\angle CPD = 118°$ (opuestos por el vértice), y $\angle APC = \angle BPD = 62°$. Suma interior del triángulo $\triangle APB$: $28° + 34° + 118° = 180°$ ✓. Respuesta: $\boxed{\angle APB = 118°}$.

Errores comunes que invalidan soluciones

Error 1: Confundir el arco. El Teorema del Ángulo Inscrito dice que $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$ cuando $C$ y el arco están en lados opuestos de la cuerda $AB$. Si $C$ está en el arco menor (el mismo lado que el ángulo central menor), el ángulo inscripto subtiende el arco mayor y mide más de $90°$. Muchos errores en competencia vienen de no distinguir qué arco se subtiende.

Error 2: Asumir conciclinidad sin probarla. Si el problema no afirma explícitamente que ciertos puntos están en una circunferencia, no puedes usar propiedades de cuadriláteros inscriptos para esos puntos. Primero prueba la conciclinidad (usando los criterios de la lección 1.3), luego explótala.

Error 3: Olvidar la verificación. La persecución de ángulos produce un número. Ese número debe ser consistente con todas las restricciones del problema: sumas de triángulos, suplementariedad, etc. Si no verificas, puedes presentar una respuesta incorrecta con confianza. En la ONEM, la verificación tarda 30 segundos y puede salvar una solución.

Error 4: Diagrama incorrecto. La persecución de ángulos solo funciona sobre el diagrama correcto. Si dibujas el diagrama con los puntos en orden equivocado sobre la circunferencia, tus relaciones angulares serán incorrectas aunque el álgebra sea perfecta. Siempre dibuja primero, con cuidado, antes de perseguir ángulos.

Síntesis: la técnica como lenguaje

La persecución de ángulos no es solo una técnica: es un lenguaje para hablar sobre geometría. Cuando la dominas, lees un diagrama y ves inmediatamente una cadena de igualdades angulares que conecta lo que sabes con lo que buscas. Las lecciones 1.1 a 1.3 te dieron el vocabulario (ángulos inscritos, alternos, cuadriláteros inscriptos). Esta lección te da la gramática: cómo combinar ese vocabulario en argumentos coherentes.

La conexión entre las cuatro lecciones del capítulo es total. El Teorema del Ángulo Inscrito (1.1) es la herramienta central. Las paralelas y sus ángulos (1.2) son la herramienta para segmentos rectos y polígonos. Los cuadriláteros inscriptos (1.3) son la configuración más rica donde se combinan ambas. Y la persecución de ángulos (1.4) es el método que los unifica y los vuelve operativos.

En las olimpiadas, el tiempo es un recurso escaso. La persecución de ángulos bien ejecutada es rápida: 5 a 8 minutos para un problema de dificultad 1 de la ONEM. Si encuentras que tardas más, probablemente estás en el Paso 1: no estás leyendo bien el diagrama. Invierte más tiempo en observar antes de calcular. La recompensa es una solución limpia, verificable y completa.