Puntos notables: incentro, circuncentro, ortocentro

Tres problemas, tres puntos

Dado un triángulo $\triangle ABC$, hay tres preguntas geométricas naturales: (1) ¿Existe un círculo inscrito que toque los tres lados? (2) ¿Existe un círculo circunscrito que pase por los tres vértices? (3) ¿Desde dónde puedo trazar las tres alturas y que todas pasen por el mismo punto? Las respuestas afirmativas a estas tres preguntas dan origen a los tres puntos notables más importantes de la geometría olímpica elemental: el incentro, el circuncentro y el ortocentro.

Cada uno de estos puntos es la intersección de tres rectas notables del triángulo. La maravilla —y la razón por la que aparecen en olimpiadas— es que tres rectas elegidas de manera natural en un triángulo *siempre* se cortan en un único punto. Esta concurrencia no es una coincidencia: tiene una demostración rigurosa que conviene conocer bien.

En la ONEM nivel 1 y en los problemas del Cono Sur, es muy frecuente que el enunciado mencione el incentro, el circuncentro o el ortocentro sin mayores explicaciones. Este vocabulario es moneda corriente: si no lo dominas, lees el enunciado y te quedas en blanco.

El incentro $I$: equidistante de los tres lados

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los dos lados del ángulo. Esta propiedad es la clave: si un punto está en la bisectriz del ángulo $A$, su distancia a los lados $AB$ y $AC$ es la misma.

Teorema. Las tres bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes. Su punto de intersección se llama incentro y se denota $I$.

Demostración. Sean las bisectrices de los ángulos $A$ y $B$; que se corten en $I$. Como $I$ está en la bisectriz de $A$, su distancia a los lados $AB$ y $AC$ es igual: $d(I, AB) = d(I, AC)$. Como $I$ está en la bisectriz de $B$, su distancia a los lados $AB$ y $BC$ es igual: $d(I, AB) = d(I, BC)$. De ambas: $d(I, AC) = d(I, BC)$, es decir, $I$ está equidistante de los lados $AC$ y $BC$. Por la propiedad de la bisectriz, $I$ está en la bisectriz del ángulo $C$. Por lo tanto, las tres bisectrices son concurrentes en $I$.

La distancia común $r = d(I, AB) = d(I, BC) = d(I, CA)$ es el inradio, el radio del círculo inscrito. La fórmula fundamental es:

Propiedades del incentro en problemas olímpicos

El ángulo $\angle BIC$ se puede calcular directamente desde los ángulos del triángulo. En el triángulo $\triangle BIC$, la suma de ángulos es $180°$. El ángulo $\angle IBC = \frac{\angle B}{2}$ (bisectriz de $B$) y $\angle ICB = \frac{\angle C}{2}$ (bisectriz de $C$). Por lo tanto:

$\angle BIC = 180° - \frac{\angle B}{2} - \frac{\angle C}{2} = 180° - \frac{\angle B + \angle C}{2} = 180° - \frac{180° - \angle A}{2} = 90° + \frac{\angle A}{2}.$

Este resultado es un clásico: $\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$. Aparece constantemente en problemas del Cono Sur e iberoamericanos. Memorizarlo no es suficiente: hay que entender la demostración para poder adaptarla cuando el enunciado cambia ligeramente (por ejemplo, cuando se trabaja con el excírculo o con el arco $BC$ que contiene a $I$ en la circunferencia circunscrita).

Una consecuencia importante: si el triángulo es equilátero ($\angle A = 60°$), entonces $\angle BIC = 120°$. Si el triángulo es rectángulo en $A$ ($\angle A = 90°$), entonces $\angle BIC = 135°$. Estos casos extremos sirven para verificar resultados en competencia.

El circuncentro $O$: equidistante de los tres vértices

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus dos extremos. Es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.

Teorema. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes. Su punto de intersección se llama circuncentro y se denota $O$ (no confundir con el origen de coordenadas).

Demostración. Sean las mediatrices de $BC$ y $CA$; que se corten en $O$. Como $O$ está en la mediatriz de $BC$: $OB = OC$. Como $O$ está en la mediatriz de $CA$: $OC = OA$. Entonces $OA = OB = OC$, luego $O$ está equidistante de $A$ y $B$, es decir, está en la mediatriz de $AB$. Las tres mediatrices concurren en $O$.

La distancia común $R = OA = OB = OC$ es el circunradio. La fórmula olímpica fundamental que relaciona $R$ con los lados y el área es:

Posición del circuncentro y ángulo central

La posición del circuncentro respecto al triángulo depende de los ángulos: en un triángulo acutángulo, $O$ está en el interior; en un triángulo rectángulo, $O$ está en la hipotenusa (es su punto medio); en un triángulo obtusángulo, $O$ está en el exterior.

La relación entre ángulo inscrito y ángulo central da la fórmula $\angle BOC = 2\angle A$ (cuando $A$ y el arco $BC$ están en el mismo lado). Esta es exactamente la Lección 1.1 vista desde la perspectiva del circuncentro: el circuncentro conecta directamente con el Teorema del Ángulo Inscrito.

En problemas donde aparece $O$ junto con $I$, la recta $OI$ es particularmente rica. La fórmula de Euler establece que $OI^2 = R(R - 2r)$, o equivalentemente $OI = R - 2r$... espera: no es una resta directa sino una relación cuadrática. La fórmula exacta es $OI^2 = R^2 - 2Rr$. En particular, siempre $R \geq 2r$ (desigualdad de Euler). La igualdad se da solo para el triángulo equilátero, donde $I = O$ (y también coinciden con el baricentro y el ortocentro).

El ortocentro $H$: donde concurren las altitudes

La altitud desde un vértice $A$ es la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al lado opuesto $\overline{BC}$ (o a su prolongación).

Teorema. Las tres altitudes de un triángulo son concurrentes. Su punto de intersección se llama ortocentro y se denota $H$.

Demostración elegante usando paralelas. Por $A$ traza una recta paralela a $BC$; por $B$, paralela a $CA$; por $C$, paralela a $AB$. Estas tres rectas forman un triángulo mayor $\triangle A'B'C'$ que contiene a $\triangle ABC$. En este triángulo mayor, $BC$ es segmento medio paralelo a $A'B'$ (por construcción, $ABCB'$ es paralelógramo), por lo que la altitud desde $A$ en $\triangle ABC$ (perpendicular a $BC$) es también la mediatriz del segmento $B'C'$ en $\triangle A'B'C'$. Las tres altitudes de $\triangle ABC$ son las tres mediatrices de $\triangle A'B'C'$, que ya sabemos que concurren. Por lo tanto, las tres altitudes concurren.

Una propiedad vectorial muy útil: si $O$ es el circuncentro, entonces $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$. En coordenadas, si $O$ es el origen, entonces $H = A + B + C$ (como vectores de posición). Esta propiedad es un atajo poderoso en problemas que involucran los tres puntos a la vez.

Propiedades angulares del ortocentro

Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ y sean $D$, $E$, $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$, $C$ respectivamente. El triángulo $\triangle DEF$ se llama triángulo órtrico y tiene propiedades ricas que aparecen en olimpiadas de nivel intermedio.

La propiedad más usada en nivel 1 es: $\angle BHC = 180° - \angle A$. Demostración: en el cuadrilátero $BDHF$ (donde $D$ y $F$ son pies de alturas), los ángulos en $D$ y $F$ son $90°$, así que $\angle BHF + \angle HBF = 90°$ y $\angle HFC + \angle HCF = 90°$... el argumento más limpio es: $\angle BHC + \angle A = 180°$ porque el cuadrilátero $ABHC$ (con los ángulos rectos en los pies de altura) fuerza esta suplementariedad. Formalmente, $\angle HBC = 90° - \angle C$ y $\angle HCB = 90° - \angle B$, luego $\angle BHC = 180° - (90° - \angle C) - (90° - \angle B) = \angle B + \angle C = 180° - \angle A$.

Comparación clave. El incentro satisface $\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$; el ortocentro satisface $\angle BHC = 180° - \angle A$. En un triángulo acutángulo, ambos están en el interior. En un triángulo obtusángulo en $A$, el ortocentro sale al exterior y $\angle BHC$ es agudo. Comparar estas fórmulas no solo ayuda a recordarlas: también muestra la dualidad profunda entre los dos puntos.

Recta de Euler: los tres puntos son colineales

Un resultado inesperado y hermoso: el circuncentro $O$, el baricentro $G$ (que veremos en la Lección 2.2) y el ortocentro $H$ son colineales. La recta que los contiene se llama recta de Euler.

Más aún, el baricentro $G$ divide el segmento $\overline{OH}$ en razón $1:2$, con $G$ más cercano a $O$: $OG = \frac{1}{3}OH$. Esto es una consecuencia directa de la propiedad vectorial $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ y de que $\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{3}\vec{OH}$.

El incentro generalmente no está en la recta de Euler, excepto en el triángulo isósceles (donde $I$, $G$, $O$, $H$ son todos colineales sobre el eje de simetría). Este es un error frecuente: no asumir que $I$ está en la recta de Euler en el caso general.