Baricentro y medianas

La mediana y el punto medio

La mediana desde el vértice $A$ de un triángulo $\triangle ABC$ es el segmento $\overline{AM_a}$ donde $M_a$ es el punto medio del lado $\overline{BC}$. Análogamente se definen las medianas $BM_b$ y $CM_c$ desde los vértices $B$ y $C$.

Las medianas tienen una historia geométrica limpia: unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto. Son los "ejes de equilibrio" del triángulo: si imaginas el triángulo como una placa de densidad uniforme, el baricentro es el punto de equilibrio.

A diferencia de las bisectrices y las alturas, las medianas siempre están en el interior del triángulo (sin importar si es acutángulo, obtusángulo o rectángulo). Esto hace que el baricentro sea siempre un punto interior, propiedad conveniente en muchos argumentos.

Teorema del baricentro: razón 2:1

Teorema. Las tres medianas de un triángulo son concurrentes. Su punto de intersección $G$ se llama baricentro (o centroide). Más aún, $G$ divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice.

Demostración. Considera las medianas $AM_a$ y $BM_b$; que se corten en $G$. Hay que probar que $AG/GM_a = 2$ y $BG/GM_b = 2$. Usamos el hecho de que $M_a$ y $M_b$ son puntos medios: el segmento $M_aM_b$ es paralelo a $AB$ y $M_aM_b = \frac{1}{2}AB$ (por el Teorema del Segmento Medio). Los triángulos $\triangle ABG$ y $\triangle M_aM_bG$ son semejantes (ángulos alternos internos por la paralela $M_aM_b \parallel AB$) con razón $AB/M_aM_b = 2$. Por semejanza, $AG/GM_a = BG/GM_b = 2$. Luego la tercera mediana también pasa por $G$ por un argumento idéntico con el tercer par de lados.

En otras palabras, $G$ está a $\frac{2}{3}$ de cada mediana desde el vértice, y a $\frac{1}{3}$ del punto medio.

Propiedad vectorial: $G = \frac{A+B+C}{3}$

El baricentro tiene una descripción vectorial especialmente limpia. Si $O$ es cualquier punto de referencia, entonces:

$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3}.$

Equivalentemente, si usamos coordenadas cartesianas con $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$, $C = (x_C, y_C)$, entonces $G = \left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\, \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).$

Esta fórmula es directa de la propiedad $2:1$: el punto que divide $AM_a$ en razón $2:1$ desde $A$ es $G = A + \frac{2}{3}(M_a - A) = \frac{A}{3} + \frac{2M_a}{3} = \frac{A}{3} + \frac{2}{3}\cdot\frac{B+C}{2} = \frac{A+B+C}{3}$.

Fórmula de la longitud de la mediana

La longitud de la mediana $m_a$ desde $A$ hasta el punto medio de $BC$ se puede calcular en función de los lados del triángulo. Usando el teorema de la mediana (una aplicación del teorema de Stewart o del teorema del coseno):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

donde $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$. Las fórmulas para $m_b$ y $m_c$ se obtienen por simetría cíclica.

Verificación en triángulo equilátero. Si $a = b = c = \ell$, entonces $m_a^2 = \frac{2\ell^2 + 2\ell^2 - \ell^2}{4} = \frac{3\ell^2}{4}$, luego $m_a = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$. Esto es la altura del triángulo equilátero, lo cual tiene sentido pues la mediana, la bisectriz y la altura coinciden en el triángulo equilátero.

Verificación en triángulo rectángulo. Si $\triangle ABC$ es rectángulo en $C$ ($c^2 = a^2 + b^2$), la mediana desde $C$ hasta la hipotenusa tiene longitud $m_c^2 = \frac{2a^2+2b^2-c^2}{4} = \frac{2c^2-c^2}{4} = \frac{c^2}{4}$, luego $m_c = \frac{c}{2}$. El punto medio de la hipotenusa es equidistante de los tres vértices en un triángulo rectángulo, confirmando que el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.

Las medianas dividen el triángulo en seis partes iguales

Teorema. Las tres medianas de $\triangle ABC$ dividen el triángulo en seis triángulos menores de igual área.

Demostración. Sean $M_a$, $M_b$, $M_c$ los puntos medios de $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente, y $G$ el baricentro. Primero observamos que la mediana $AM_a$ divide $\triangle ABC$ en dos triángulos $\triangle ABM_a$ y $\triangle ACM_a$ de igual área (misma altura desde $A$, bases $BM_a = M_aC = a/2$ iguales). Cada uno tiene área $\frac{1}{2}\text{Área}(\triangle ABC)$.

Ahora la mediana $CM_c$ cruza el triángulo $\triangle ABM_a$ por el baricentro $G$. El punto $G$ divide $CM_c$ en razón $2:1$, así que $CG/GM_c = 2$. El triángulo $\triangle BCG$ tiene base $BM_c = c/2$ y altura proporcional a $CG$; el triángulo $\triangle M_cBG$... el argumento más directo: los seis triángulos $\triangle AGM_b$, $\triangle BGM_c$, $\triangle CGM_a$, $\triangle GM_aB$... se puede verificar que el baricentro divide cada uno de los dos medios-triángulos en tres partes iguales (de área $\frac{1}{6}\text{Área}$). La razón es que cualquier ceviana que pasa por el baricentro divide el triángulo en dos partes, y las seis partes resultantes de las tres medianas son todas congruentes en área.

Este resultado aparece en problemas olímpicos bajo la forma: "si $G$ es el baricentro de $\triangle ABC$ y $P$ es cualquier punto, ¿cuál es el área de $\triangle GPQ$ en términos del área total?" Las seis partes iguales permiten calcular áreas relativas con una sencillez sorprendente.

Problema resuelto: $AG = 2 \cdot GM_a$

Problema. Sea $G$ el baricentro de $\triangle ABC$ y $M_a$ el punto medio de $\overline{BC}$. Demuestra que $AG = 2 \cdot GM_a$.

Solución 1 (por semejanza). Los triángulos $\triangle AGB$ y $\triangle M_aGM_c$ (donde $M_c$ es el punto medio de $AB$) son semejantes con razón $2:1$ (ya que $M_aM_c \parallel AB$ y $M_aM_c = AB/2$ por el Segmento Medio). El baricentro $G$ es el centro de semejanza. Por lo tanto, las longitudes correspondientes están en razón $2:1$, incluyendo los segmentos sobre la mediana $AM_a$: $AG:GM_a = 2:1$, es decir, $AG = 2GM_a$.

Solución 2 (vectorial). Sean $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ vectores de posición desde un origen $O$. Entonces $\overrightarrow{OM_a} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ y $\overrightarrow{OG} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Calculamos: $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} - \vec{a} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{3}$. Y $\overrightarrow{GM_a} = \overrightarrow{OM_a} - \overrightarrow{OG} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2} - \dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \dfrac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{6}$. Por lo tanto $\overrightarrow{AG} = 2\,\overrightarrow{GM_a}$, confirmando $AG = 2 \cdot GM_a$.

Reflexión. La solución vectorial es la más limpia para generalizar: si sustituyes $M_a$ por cualquier punto de la mediana, la razón entre los segmentos desde $A$ y desde $M_a$ hasta $G$ se calcula con la misma técnica.