Teorema de Ceva

El problema de la concurrencia

Dados tres puntos $D$, $E$, $F$ en los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ del triángulo $\triangle ABC$ respectivamente, trazamos los segmentos $AD$, $BE$, $CF$. Estos segmentos se llaman cevianas del triángulo. La pregunta central es: ¿cuándo las tres cevianas son concurrentes, es decir, pasan por un mismo punto?

Esta pregunta tiene respuesta exacta y elegante: el Teorema de Ceva, formulado por Giovanni Ceva en 1678. No solo dice cuándo hay concurrencia: da una condición algebraica precisa en términos de razones de segmentos. Este teorema unifica en un solo criterio la concurrencia de las medianas, las bisectrices, las alturas y muchas otras cevianas notables.

El Teorema de Ceva es, junto con el Teorema de Menelao (Lección 2.4), la herramienta algebraica más importante de la geometría proyectiva elemental. En problemas del Cono Sur e iberoamericanos, aparece con frecuencia —a veces de manera explícita, a veces disfrazado detrás de una pregunta de concurrencia.

Enunciado del Teorema de Ceva

Sea $\triangle ABC$ un triángulo y $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ respectivamente (o en sus prolongaciones, con signo). Las cevianas $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes (o paralelas) si y solo si:

Demostración por áreas

La demostración más elegante usa razones de áreas. Sea $P$ el punto de concurrencia de las cevianas $AD$, $BE$, $CF$.

Paso 1. Expresamos $\dfrac{BD}{DC}$ en términos de áreas. Observa que los triángulos $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ tienen la misma altura desde $A$ (perpendicular a $BC$), luego su razón de áreas es igual a la razón de sus bases: $\dfrac{[ABD]}{[ACD]} = \dfrac{BD}{DC}$. Análogamente, $\dfrac{[PBD]}{[PCD]} = \dfrac{BD}{DC}$. Combinando: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{[ABD]}{[ACD]} = \dfrac{[ABP]}{[ACP]}$ (restando numeradores y denominadores: $\dfrac{[ABD]-[ABP]}{[ACD]-[ACP]} = \dfrac{[APB]\ldots}{\ldots}$). El argumento más directo: $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{[ABD]}{[ACD]} = \dfrac{[PBD]}{[PCD]}$, y por la propiedad de razones iguales, $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{[ABD]-[PBD]}{[ACD]-[PCD]} = \dfrac{[ABP]}{[ACP]}$.

Paso 2. De manera análoga: $\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{[BCP]}{[ABP]}$ y $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{[ACP]}{[BCP]}$.

Paso 3. Multiplicando las tres razones: $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = \dfrac{[ACP]}{[BCP]} \cdot \dfrac{[ABP]}{[ACP]} \cdot \dfrac{[BCP]}{[ABP]} = 1$.

El recíproco (si el producto es $1$, las cevianas concurren) se prueba de manera similar asumiendo que $AD$ y $BE$ se cortan en $P$ y que la tercera ceviana $CF'$ pasa por $P$; entonces $F'$ satisface la misma ecuación que $F$, luego $F = F'$.

Aplicación 1: concurrencia de las medianas

Las medianas pasan por los puntos medios: $D = M_a$ (punto medio de $BC$), $E = M_b$ (punto medio de $CA$), $F = M_c$ (punto medio de $AB$). Entonces $BD/DC = 1$, $CE/EA = 1$, $AF/FB = 1$. El producto es $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Por Ceva, las medianas son concurrentes.

Este argumento es una demostración alternativa de la existencia del baricentro, mucho más rápida que la demostración por semejanza. En competencia, si se pide "demuestra que las medianas son concurrentes", la respuesta vía Ceva es la más corta.

Aplicación 2: concurrencia de las bisectrices

La bisectriz desde $A$ divide el lado $BC$ en razón $BD/DC = AB/AC = c/b$ (Teorema de la Bisectriz). Análogamente, $CE/EA = a/c$ y $AF/FB = b/a$. El producto:

$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = \dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{c}{b} \cdot \dfrac{a}{c} = 1.$

Por Ceva, las bisectrices son concurrentes (en el incentro). Una vez más, Ceva unifica la demostración de la Lección 2.1.

Aplicación 3: concurrencia de las alturas

Sea $D$ el pie de la altura desde $A$. En el triángulo rectángulo $\triangle ABD$: $BD = c\cos B$. En el triángulo rectángulo $\triangle ACD$: $DC = b\cos C$. Así $BD/DC = (c\cos B)/(b\cos C)$. Análogamente, $CE/EA = (a\cos C)/(c\cos A)$ y $AF/FB = (b\cos A)/(a\cos B)$. El producto:

$\dfrac{c\cos B}{b\cos C}\cdot\dfrac{a\cos C}{c\cos A}\cdot\dfrac{b\cos A}{a\cos B} = 1.$

Por Ceva, las alturas son concurrentes (en el ortocentro). Este es quizás el argumento más elegante para probar la existencia del ortocentro en un triángulo acutángulo.

Forma trigonométrica del Teorema de Ceva

Cuando las cevianas son bisectrices de ángulos, es conveniente expresar el criterio de Ceva en términos angulares. Si las cevianas $AD$, $BE$, $CF$ forman ángulos $\angle BAD = \alpha_1$, $\angle DAC = \alpha_2$, $\angle CBE = \beta_1$, $\angle ECA = \beta_2$... existe una versión trigonométrica:

Teorema de Ceva trigonométrico. Las cevianas $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes si y solo si:

Ejemplo olímpico: una ceviana no estándar

Problema. En $\triangle ABC$, el punto $D$ en $\overline{BC}$ satisface $BD/DC = 2/3$. El punto $E$ en $\overline{CA}$ satisface $CE/EA = 4/1$. ¿Existe un punto $F$ en $\overline{AB}$ tal que $AD$, $BE$, $CF$ sean concurrentes? Si existe, calcula $AF/FB$.

Solución. Por el Teorema de Ceva, la condición de concurrencia es $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1$. Sustituimos: $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{1} = 1$, luego $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{8}{3} = 1$, entonces $\dfrac{AF}{FB} = \dfrac{3}{8}$. Existe exactamente un punto $F$ en $\overline{AB}$ con $AF/FB = 3/8$, y las tres cevianas son concurrentes.

Reflexión. Ceva no solo verifica concurrencia: permite calcular dónde debe estar la tercera ceviana dados los datos de las otras dos. Esta propiedad de "ceviana determinada" es útil en problemas de construcción y locus.