Lección 3.1: Tangentes y cuerdas — Espinoza Olimpiadas

Tangente: la recta que toca exactamente una vez

Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ . Una recta $\ell$ es tangente a $\omega$ en el punto $T$ si toca a $\omega$ exactamente en $T$ . La propiedad fundamental es que $OT \perp \ell$ : el radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

Esta perpendicularidad es la llave de todos los cálculos con tangentes. Si necesitas la longitud de la tangente desde un punto exterior $P$ a $\omega$ , formas el triángulo rectángulo $\triangle OTP$ con el ángulo recto en $T$ : la longitud de la tangente es $PT = \sqrt{PO^2 - r^2}$ . Si $P$ tiene dos tangentes a $\omega$ , ambas tienen la misma longitud (los dos triángulos rectángulos son congruentes por hipotenusa y cateto).

Desde un punto exterior $P$ siempre se pueden trazar exactamente dos tangentes a la circunferencia. El segmento de tangente desde $P$ hasta el punto de tangencia se llama simplemente **tangente desde $P$ **. La igualdad de las dos tangentes desde un mismo punto exterior es un resultado que aparece constantemente en construcciones con circunferencias inscritas y excírculos.

Ángulo entre tangente y cuerda

Sea $\omega$ una circunferencia, $T$ un punto de $\omega$ , y $\ell$ la tangente en $T$ . Sea $AB$ una cuerda de $\omega$ con $A = T$ . El **ángulo entre la tangente $\ell$ y la cuerda $TA$ ** (es decir, el ángulo $\angle(\ell, TB)$ donde $B$ es el otro extremo de la cuerda) es igual al ángulo inscrito que subtiende el arco $TB$ desde el otro lado.

Formalmente: si $C$ es cualquier punto del arco $TB$ que no contiene a $T$ (el arco mayor o menor, según la elección de semiplano), entonces $\angle(\ell, TB) = \angle TCB$ . Esto se llama el Teorema del ángulo tangente-cuerda o Teorema de la tangente-arco.

Demostración. Sea $O$ el centro. El arco $TB$ (menor, digamos) subtiende el ángulo central $\angle TOB = 2\alpha$ y el ángulo inscrito $\angle TCB = \alpha$ . El ángulo entre la tangente y la cuerda $TB$ : como $OT \perp \ell$ , el ángulo entre $\ell$ y el radio $OT$ es $90°$ . El ángulo $\angle OTB = 90° - \angle TBO = 90° - (90° - \alpha) = \alpha$ (en el triángulo isósceles $\triangle OTB$ con $OT = OB = r$ ). Así el ángulo entre la tangente y la cuerda es $\alpha = \angle TCB$ .

\angle(\ell,\, TB) = \angle TCB = \frac{1}{2}\,\widehat{TB}

Cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia

Sean $AB$ y $CD$ dos cuerdas de $\omega$ que se cortan en el punto $P$ interior a $\omega$ . Entonces los triángulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes (ángulos inscritos que subtienden el mismo arco). De la semejanza se obtiene la relación de productos:

Demostración de la semejanza. El ángulo $\angle CAP$ es un ángulo inscrito que subtiende el arco $CD$ (sin $A$ ), y el ángulo $\angle BDP$ subtiende el mismo arco. Entonces $\angle CAP = \angle BDP$ . Análogamente $\angle ACP = \angle DBP$ . Los triángulos son semejantes por AA.

De la semejanza $\triangle APC \sim \triangle DPB$ se sigue $PA/PD = PC/PB$ , es decir $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ . Este resultado es la versión elemental de la potencia de un punto para el caso interior, que exploraremos en la Lección 3.2.

PA \cdot PB = PC \cdot PD

Cuerdas (secantes) que se intersectan fuera de la circunferencia

Sea $P$ un punto exterior a $\omega$ . Trazamos dos secantes desde $P$ : una corta a $\omega$ en $A$ y $B$ (con $A$ entre $P$ y $B$ ), la otra corta en $C$ y $D$ (con $C$ entre $P$ y $D$ ). Entonces $\triangle PAC \sim \triangle PDC$ ... mejor dicho, $\triangle PAC \sim \triangle PDB$ (por ángulos inscritos iguales que subtienden el mismo arco). De la semejanza:

$PA/PD = PC/PB$ , luego $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ .

Nótese que la fórmula $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ vale tanto para el caso interior como para el caso exterior. En el caso exterior, si una de las secantes degenera en tangente ( $C = D = T$ ), la fórmula se convierte en $PA \cdot PB = PT^2$ . Este es el vínculo entre cuerdas, secantes y tangentes que unifica todo el capítulo.

PA \cdot PB = PC \cdot PD = PT^2

Estrategia olímpica: cuándo usar tangentes y cuerdas

En un problema de ONEM nivel 1, el Teorema tangente-cuerda es útil cuando el enunciado da un ángulo entre una recta y una cuerda y pide relacionarlo con un ángulo inscrito, o viceversa. La señal de alarma: si hay una tangente en el enunciado y un ángulo que se forma con una cuerda, casi seguro hay que aplicar este teorema.

La relación de productos $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ tiene una aplicación inmediata: si conoces tres de los cuatro segmentos, calculas el cuarto. En problemas con circunferencias concéntricas o configuraciones con múltiples círculos, identificar los pares de cuerdas que se cortan en un mismo punto es el primer paso.

Un error frecuente: confundir el caso interior y el caso exterior. En el caso interior, $P$ está entre $A$ y $B$ (y entre $C$ y $D$ ). En el caso exterior, $A$ está entre $P$ y $B$ . La fórmula del producto es la misma, pero la geometría de la figura es distinta. Dibujar siempre antes de escribir.

Tangentes y cuerdas

Objetivo de la lección

Tangente: la recta que toca exactamente una vez

Ángulo entre tangente y cuerda

Cuerdas que se intersectan dentro de la circunferencia

Cuerdas (secantes) que se intersectan fuera de la circunferencia

Estrategia olímpica: cuándo usar tangentes y cuerdas

Problemas del Capítulo 3 — con solución