Potencia de un punto

La potencia de un punto: definición

Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$, y sea $P$ un punto del plano. Trazamos cualquier recta $\ell$ por $P$ que corte a $\omega$ en los puntos $A$ y $B$ (no necesariamente distintos). La **potencia del punto $P$ respecto a $\omega$** se define como:

$\text{pow}(P, \omega) = PA \cdot PB$ (con signo: positivo si $P$ es exterior, negativo si $P$ es interior).

El resultado clave —que justifica la definición— es que este valor **no depende de la recta $\ell$ elegida**: todas las rectas por $P$ que cortan a $\omega$ dan el mismo producto $PA \cdot PB$. En la Lección 3.1 probamos esto para el caso de cuerdas que se cortan; aquí lo generalizamos.

Cálculo en función de la distancia al centro

Sea $d = PO$ la distancia de $P$ al centro. Trazamos la recta por $P$ y $O$; ella corta a $\omega$ en $A$ y $B$. Si $P$ es exterior: $PA = d - r$ y $PB = d + r$ (tomando $A$ y $B$ en extremos opuestos del diámetro sobre la recta $PO$). Entonces $PA \cdot PB = (d-r)(d+r) = d^2 - r^2$.

Si $P$ es interior: $PA = r - d$ y $PB = r + d$ en valor absoluto, pero con signos opuestos respecto a $P$, así que $PA \cdot PB = -(r-d)(r+d) = -(r^2-d^2) = d^2-r^2$ (negativo).

Si $P$ está en la circunferencia: $d = r$, luego $\text{pow}(P, \omega) = 0$. Resumiendo: la potencia es positiva para puntos exteriores, cero para puntos de la circunferencia, y negativa para puntos interiores. Este signo es la razón por la que se habla de potencia "con signo".

La potencia y las tangentes

Si $P$ es exterior a $\omega$ y $PT$ es la tangente desde $P$ al punto $T \in \omega$, entonces la recta $PT$ "corta" a $\omega$ en $T$ con multiplicidad dos: $A = B = T$. La potencia es $PA \cdot PB = PT^2$. Entonces $PT^2 = d^2 - r^2$, donde $d = PO$.

Esto es el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo $\triangle OTP$ (con ángulo recto en $T$): $PO^2 = OT^2 + PT^2$, luego $PT^2 = PO^2 - OT^2 = d^2 - r^2$. Las dos fórmulas son la misma.

Consecuencia: si desde un punto exterior $P$ se trazan dos tangentes a $\omega$ con puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$, y también una secante que corta en $A$ y $B$, entonces $PT_1 = PT_2 = \sqrt{PA \cdot PB}$. Esta igualdad es fundamental en problemas de cuadriláteros tangenciales.

Igualdad de potencias y concircularidad

La igualdad de potencias da un criterio de concircularidad: cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos (están en una misma circunferencia) si y solo si, para el punto $P = AC \cap BD$:

$PA \cdot PC = PB \cdot PD$.

Esto es exactamente la condición de que $P$ tenga la misma potencia respecto a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ y a la de $\triangle ABD$... pero más directamente: los cuatro puntos son concíclicos si y solo si $PA \cdot PC = PB \cdot PD$. Este criterio se usa constantemente en problemas donde hay que demostrar que cuatro puntos están en un círculo.

En la práctica: si un enunciado da varias longitudes y termina con "demuestra que $A$, $B$, $C$, $D$ son concíclicos", busca primero la intersección $P$ de las dos diagonales y calcula los dos productos. Si son iguales, la demostración está lista.

Ejemplo resuelto: longitud con potencia

Problema. Una circunferencia $\omega$ de radio $5$ tiene centro $O$. El punto $P$ está a distancia $13$ de $O$. Una cuerda $AB$ de $\omega$ pasa por $P$ y divide a $PA = 3$. Calcula $PB$.

Solución. La potencia de $P$ respecto a $\omega$ es $d^2 - r^2 = 169 - 25 = 144$. Entonces $PA \cdot PB = 144$, luego $3 \cdot PB = 144$, es decir $PB = 48$.

Verificación: $P$ es exterior ($d = 13 > r = 5$), y en efecto $PA = 3 < PA + PB = 3 + 48 = 51$... pero la longitud de la cuerda es $AB = PA + PB = 51$. El diámetro es $10$, y la cuerda mide $51$: esto es imposible para $\omega$. El error está en suponer que $P$ es exterior: si $PA = 3$ y $P$ es exterior, la secante desde $P$ debería tener $PA < PB$ con $PA + PB > 2r = 10$, lo cual se cumple ($51 > 10$). Pero la cuerda tiene longitud $AB = PB - PA = 48 - 3 = 45$ si $P$ es exterior y $A$ es el punto más cercano. Con $r = 5$, la cuerda máxima es el diámetro $= 10$. Contradicción: no puede haber una cuerda de longitud $45$ en un círculo de radio $5$. El problema tiene un error en sus datos. En un ejercicio correcto, con $d = 13$ y $r = 5$, la tangente desde $P$ mide $\sqrt{144} = 12$, y una secante con $PA = 3$ daría $PB = 48$, pero la longitud de cuerda sería $PB - PA = 45$ si $P$ es exterior —imposible para un radio de $5$. Por coherencia: **si $PA = 3$ con radio $5$ y $d = 13$**, el problema está bien planteado solo si la cuerda pasa por el interior y $PB - PA$ no excede el diámetro; en ese caso se toma $PA$ y $PB$ ambos medidos desde $P$ con $A$ y $B$ en la misma recta. Con $r = 5$ y $d = 13$, la cuerda en dirección de $PO$ daría $PA = d - r = 8$ y $PB = d + r = 18$, con producto $144$. Un ejemplo de datos consistentes: $r = 13$, $d = 5$ (interior), potencia $= 25 - 169 = -144$, con $PA = 6$ y $PB = 24$ dando producto $|{-144}| = 144$.