Eje radical

El eje radical: igual potencia para dos círculos

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$. Para un punto $P$ del plano, la potencia respecto a $\omega_1$ es $\text{pow}(P, \omega_1) = PO_1^2 - r_1^2$ y respecto a $\omega_2$ es $\text{pow}(P, \omega_2) = PO_2^2 - r_2^2$.

El eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$ es el conjunto de todos los puntos $P$ del plano con igual potencia respecto a ambas circunferencias:

$\text{pow}(P, \omega_1) = \text{pow}(P, \omega_2)$, es decir, $PO_1^2 - r_1^2 = PO_2^2 - r_2^2$.

Esta igualdad es la ecuación del eje radical. Vamos a ver que es la ecuación de una recta.

El eje radical es una recta perpendicular a $O_1O_2$

Coloca el sistema de coordenadas con $O_1 = (c_1, 0)$ y $O_2 = (c_2, 0)$ (ambos sobre el eje $x$). Para un punto $P = (x, y)$:

$PO_1^2 = (x-c_1)^2 + y^2$ y $PO_2^2 = (x-c_2)^2 + y^2$.

La condición del eje radical es $(x-c_1)^2 + y^2 - r_1^2 = (x-c_2)^2 + y^2 - r_2^2$. Expandiendo y simplificando: $x^2 - 2c_1 x + c_1^2 - r_1^2 = x^2 - 2c_2 x + c_2^2 - r_2^2$, luego $2(c_2 - c_1)x = c_2^2 - r_2^2 - c_1^2 + r_1^2$. Esta es la ecuación de una recta vertical (en el sistema de coordenadas elegido), es decir, perpendicular al eje $x$ que contiene a $O_1 O_2$. Por lo tanto, el eje radical es una recta **perpendicular a $O_1 O_2$**.

La posición del eje radical respecto a los dos centros depende de los radios. Si los círculos se cortan en dos puntos, el eje radical es la recta que pasa por esos dos puntos (la cuerda común). Si son tangentes, el eje radical pasa por el punto de tangencia. Si son exteriores el uno al otro, el eje radical está entre ellos (más cerca del centro con mayor radio).

El teorema del centro radical

Teorema. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres circunferencias cuyos centros no son colineales. Los tres ejes radicales (el de $\omega_1$ y $\omega_2$, el de $\omega_2$ y $\omega_3$, y el de $\omega_1$ y $\omega_3$) son concurrentes. El punto de concurrencia se llama centro radical de las tres circunferencias.

Demostración. Sea $R$ el punto de intersección del eje radical de $\omega_1, \omega_2$ con el eje radical de $\omega_2, \omega_3$. Entonces:

$\text{pow}(R, \omega_1) = \text{pow}(R, \omega_2)$ (porque $R$ está en el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$), y $\text{pow}(R, \omega_2) = \text{pow}(R, \omega_3)$ (porque $R$ está en el eje radical de $\omega_2$ y $\omega_3$). Por transitividad, $\text{pow}(R, \omega_1) = \text{pow}(R, \omega_3)$, lo que significa que $R$ también está en el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_3$. Los tres ejes concurren en $R$.

Cálculo práctico: coordenadas del eje radical

Si las circunferencias tienen ecuaciones $x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0$ y $x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0$ (forma general), entonces el eje radical se obtiene restando las dos ecuaciones:

$(D_1 - D_2) x + (E_1 - E_2) y + (F_1 - F_2) = 0$.

Esta es la ecuación del eje radical. La deducción es inmediata: restar elimina los términos $x^2 + y^2$, dejando una ecuación lineal. En problemas con coordenadas, esta es la forma más rápida de calcular el eje radical: escribir ambas circunferencias en forma estándar y restar.

Para tres circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ con ecuaciones en forma general, el centro radical es la solución del sistema de dos ecuaciones lineales: eje radical de $\omega_1,\omega_2$ y eje radical de $\omega_2,\omega_3$.

Aplicación: demostrar concurrencia por el centro radical

El Teorema del Centro Radical es una herramienta poderosa para demostrar concurrencias. La estrategia: si hay tres rectas que sospechamos son concurrentes, identificamos tres circunferencias tales que cada una de esas rectas sea el eje radical de un par de circunferencias. Si encontramos ese trío, la concurrencia es inmediata.

Ejemplo olímpico. En el triángulo $\triangle ABC$ se inscriben tres circunferencias $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ tangentes al lado opuesto y a los otros dos lados (excírculos). Los ejes radicales de $\omega_A,\omega_B$; de $\omega_B,\omega_C$; y de $\omega_A,\omega_C$ son tres rectas. El Teorema del Centro Radical garantiza que concurren.

Un error frecuente: pensar que el centro radical existe solo cuando los tres círculos se cortan. No es necesario: el teorema vale para cualquier terna de circunferencias con centros no colineales.