Inversión básica

La idea detrás de la inversión

La inversión es una transformación del plano que "invierte" las distancias al centro respecto al radio de una circunferencia fija. A diferencia de las isometrías (reflexión, rotación, traslación), la inversión no conserva distancias ni ángulos entre segmentos —pero sí conserva los ángulos entre curvas (es una transformación conforme). Su poder: convierte círculos en rectas y rectas en círculos, simplificando configuraciones con muchos círculos tangentes.

La inversión es la herramienta más avanzada de este capítulo. En la ONEM nivel 1 aparece raramente de manera explícita, pero comprender la inversión básica permite reconocer patrones de tangencia que de otro modo son difíciles de ver. En competencias de nivel 2 (Cono Sur, Iberoamericana) la inversión es moneda corriente.

Definición de la inversión

Sea $\omega$ una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ (llamada circunferencia de inversión). La inversión $\iota$ de centro $O$ y radio $r$ es la transformación que lleva cada punto $P \neq O$ al punto $P'$ en el rayo $OP$ tal que $OP \cdot OP' = r^2$.

En otras palabras: $P'$ está en la misma semirrecta que $P$ desde $O$, y $OP' = r^2 / OP$. Si $P$ está en la circunferencia $\omega$ (es decir, $OP = r$), entonces $OP' = r$ y $P' = P$: los puntos de $\omega$ son fijos. Si $P$ está en el interior de $\omega$ ($OP < r$), su imagen $P'$ está en el exterior ($OP' = r^2/OP > r$), y viceversa. El centro $O$ no tiene imagen (o se puede decir que se envía al "punto del infinito").

La inversión es una involución: aplicarla dos veces devuelve el punto original. $(\iota \circ \iota)(P) = P$ para todo $P \neq O$.

Imagen de rectas y círculos bajo inversión

Las reglas de transformación son la razón por la que la inversión es tan útil:

**(1) Una recta que pasa por $O$** se transforma en sí misma (los puntos se mueven sobre la recta, pero la recta como conjunto se preserva).

**(2) Una recta que no pasa por $O$ se transforma en un círculo que pasa por $O$**. Específicamente, si $\ell$ es la recta y $H$ es el pie de la perpendicular desde $O$ a $\ell$, entonces el círculo imagen pasa por $O$ y por $H'$ (la imagen de $H$), y es tangente a $\ell$ en $H'$.

**(3) Un círculo que pasa por $O$ se transforma en una recta que no pasa por $O$**.

**(4) Un círculo que no pasa por $O$ se transforma en otro círculo que tampoco pasa por $O$**.

Las reglas (2) y (3) son las más poderosas: permiten "aplanar" configuraciones con círculos tangentes a un punto, convirtiéndolas en configuraciones con rectas paralelas o rectas concurrentes, que son mucho más fáciles de analizar.

La inversión preserva ángulos

La propiedad más importante de la inversión es que es conforme: preserva los ángulos entre curvas (el ángulo que forman sus tangentes en el punto de intersección). En particular:

Si dos círculos son tangentes entre sí (se tocan en un punto $T$), sus imágenes bajo una inversión de centro $T$ se transforman en dos rectas paralelas (o en dos rectas concurrentes, según el caso). Esto es lo que hace a la inversión tan útil: las tangencias se convierten en paralelismos.

Si invertimos desde el punto de tangencia común $T$ de dos círculos tangentes, ambos círculos pasan por el centro de inversión $T$, y por la regla (3), sus imágenes son rectas. Dos círculos que se tocan en $T$ y pasan por el mismo punto se transforman en dos rectas; si eran tangentes interiormente, las dos rectas son paralelas; si eran tangentes exteriormente... el argumento es similar. Esta es la base del método de inversión para problemas de Apolonio y del Problema de los Círculos de Soddy.

Un ejemplo de aplicación: el lema de los tres círculos tangentes

Lema. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres circunferencias tales que $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes externamente en $T$, y $\omega_3$ es tangente internamente a una circunferencia mayor que contiene a $\omega_1$ y $\omega_2$. Entonces el punto de tangencia de $\omega_3$ con $\omega_1$ y con $\omega_2$... (la configuración exacta varía según el enunciado).

Método de inversión. Invertimos con centro $T$ (el punto de tangencia de $\omega_1$ y $\omega_2$) y radio $r^2 = TP_1 \cdot TP_2$ adecuado. Las imágenes de $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos rectas paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$. La imagen de $\omega_3$ es un círculo tangente a $\ell_1$ y a $\ell_2$: un círculo inscrito entre dos rectas paralelas, cuyo centro es evidente por simetría. Las propiedades del problema original se deducen deshaciendo la inversión.

Este es el patrón general de la inversión en olimpiadas: (1) elegir el centro de inversión en un punto de tangencia o concurrencia que simplifique la figura, (2) calcular las imágenes de todos los objetos, (3) resolver el problema en la figura invertida (más sencilla), (4) deshacer la inversión. En el nivel ONEM regional, basta con reconocer cuando la inversión simplificaría el problema; la ejecución completa es material de nivel 2.