Semejanza de triángulos

¿Qué significa que dos triángulos son semejantes?

Dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle DEF$ son semejantes ($\triangle ABC \sim \triangle DEF$) si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. Si $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$, entonces existe una constante $k > 0$ (la razón de semejanza) tal que:

$\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD} = k.$

El orden de los vértices importa: cuando escribimos $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, estamos diciendo que $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$, $C$ a $F$. Los criterios de semejanza son las condiciones mínimas que garantizan esta relación.

Criterio AA: ángulo-ángulo

Si dos ángulos de $\triangle ABC$ son iguales a dos ángulos de $\triangle DEF$, entonces los triángulos son semejantes. (El tercer par de ángulos es automáticamente igual, ya que la suma de ángulos de un triángulo es $180°$).

Demostración. Supongamos $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$. Entonces $\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - \angle D - \angle E = \angle F$. Podemos escalar $\triangle DEF$ hasta que $DE = AB$; en ese triángulo escalado, los ángulos en $D$ y $E$ siguen siendo $\angle D$ y $\angle E$. Pero entonces el triángulo escalado tiene el mismo ángulo en $D$ que $\triangle ABC$ en $A$, y el mismo en $E$ que en $B$: por el criterio ASA de congruencia, los triángulos son congruentes, lo que implica la proporcionalidad buscada.

El criterio AA es el más usado en olimpiadas porque solo requiere identificar dos pares de ángulos iguales. La fuente principal de ángulos iguales en geometría son: ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, ángulos verticales, ángulos correspondientes con rectas paralelas, y ángulos de un triángulo isósceles.

Criterios LAL y LLL

Criterio LAL (lado-ángulo-lado). Si $\angle A = \angle D$ y $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{AC}{DF}$, entonces $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. Es decir: un ángulo igual flanqueado por dos pares de lados en la misma proporción garantiza semejanza.

Criterio LLL (lado-lado-lado). Si $\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{CA}{FD}$, entonces $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. La proporcionalidad de los tres pares de lados basta para garantizar la igualdad de todos los ángulos.

En la práctica olímpica, AA domina ampliamente. LAL aparece cuando el enunciado da segmentos que son proporcionales y un ángulo en común. LLL es más raro pero útil cuando hay muchas longitudes dadas.

Propiedades métricas de los triángulos semejantes

Si $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con razón $k$, entonces:

— Las alturas correspondientes tienen razón $k$: si $h_A$ es la altura desde $A$ en $\triangle ABC$ y $h_D$ la altura desde $D$ en $\triangle DEF$, entonces $h_A / h_D = k$.

— Las medianas y bisectrices correspondientes también tienen razón $k$.

— Las áreas tienen razón $k^2$: $[\triangle ABC] / [\triangle DEF] = k^2$.

La razón de áreas $k^2$ es especialmente útil: en problemas donde hay que calcular un área en función de otra, la semejanza reduce el problema a calcular $k$ y elevar al cuadrado.

Configuraciones olímpicas típicas con semejanza

Configuración 1: la altura sobre la hipotenusa. En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ con ángulo recto en $C$, si $H$ es el pie de la altura desde $C$ a $AB$, entonces $\triangle ABC \sim \triangle ACH \sim \triangle CBH$ (los tres son semejantes). Esto produce las relaciones $CH^2 = AH \cdot HB$ (media geométrica) y $AC^2 = AH \cdot AB$, $BC^2 = BH \cdot AB$.

Configuración 2: ángulos inscritos. Si $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, los ángulos $\angle BAC$ y $\angle BDC$ subtienden el mismo arco $BC$, por lo que son iguales. Esto a menudo produce semejanzas como $\triangle ABP \sim \triangle DCP$ (donde $P$ es la intersección de las diagonales). La igualdad $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ (Capítulo 3) es consecuencia directa de esa semejanza.

Configuración 3: tangente y secante. Si desde un punto exterior $P$ se trazan una tangente $PT$ y una secante $PAB$, la semejanza $\triangle PTB \sim \triangle PAT$ da $PT^2 = PA \cdot PB$ —la potencia del punto. Este fue el resultado clave del Capítulo 3, y ahora lo vemos como un caso de semejanza.

La estrategia en exámenes: cuando hay que calcular un segmento o demostrar una igualdad de productos, busca una semejanza. Identifica primero los ángulos iguales (la fuente es casi siempre el círculo o las paralelas), luego escribe la proporción.