Homotecia

Definición de homotecia

Sea $O$ un punto fijo del plano (el centro de homotecia) y $k \neq 0$ un número real (la razón de homotecia). La homotecia $H(O, k)$ es la transformación que lleva cada punto $P$ al punto $P'$ en la semirrecta $OP$ tal que $\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}$.

En coordenadas: si $O = (a, b)$ y $P = (x, y)$, entonces $P' = (a + k(x-a),\, b + k(y-b))$.

Si $k > 0$, $P'$ está del mismo lado que $P$ respecto a $O$ (homotecia directa). Si $k < 0$, $P'$ está del lado opuesto (homotecia inversa o de segunda especie). Si $k = 1$, la homotecia es la identidad. Si $k = -1$, es la simetría central respecto a $O$.

Imagen de figuras bajo homotecia

La homotecia transforma figuras en figuras semejantes:

— Un segmento $AB$ se transforma en un segmento $A'B'$ paralelo a $AB$ y de longitud $|k| \cdot AB$. (Los extremos $A'$ y $B'$ son las imágenes de $A$ y $B$.)

— Una recta que pasa por $O$ se transforma en sí misma.

— Una recta que no pasa por $O$ se transforma en una recta paralela a ella.

— Un círculo de centro $C$ y radio $r$ se transforma en un círculo de centro $C'$ (la imagen de $C$) y radio $|k| \cdot r$.

La última propiedad es fundamental: la homotecia lleva círculos en círculos, conservando los ángulos y la orientación (si $k > 0$). En particular, dos círculos cualesquiera son siempre imagen uno del otro bajo alguna homotecia (o la composición de dos homotecias).

Centros de homotecia de dos círculos

Dados dos círculos $\omega_1$ (centro $O_1$, radio $r_1$) y $\omega_2$ (centro $O_2$, radio $r_2$), con $r_1 \neq r_2$, existen exactamente dos centros de homotecia que llevan $\omega_1$ en $\omega_2$:

**Centro externo $H_e$:** está en la recta $O_1 O_2$, fuera del segmento $O_1 O_2$, y divide el segmento en la razón $r_1 : r_2$ externamente. $H_e O_1 / H_e O_2 = r_1 / r_2$. La homotecia de centro $H_e$ y razón $k = r_2/r_1$ lleva $\omega_1$ en $\omega_2$.

**Centro interno $H_i$:** está en el segmento $O_1 O_2$ y lo divide internamente en la razón $r_1 : r_2$. La homotecia correspondiente tiene razón $k = -r_2/r_1$ (negativa: homotecia inversa).

Si $r_1 = r_2$, los círculos son congruentes y la homotecia degenera: el centro externo se va al infinito (la transformación es una traslación), y solo existe el centro interno.

El Teorema de los centros de homotecia (Monge)

Teorema de Monge. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres círculos con centros no colineales y radios distintos por pares. Los tres centros externos de homotecia ($H_{12}$, $H_{23}$, $H_{13}$, uno para cada par) son colineales. La recta que los contiene se llama eje de Monge de los tres círculos.

Enunciado alternativo. Los centros de homotecia forman grupos: $H_{12}$, $H_{23}$, $H_{13}$ son colineales (eje de Monge), y también lo son $H_{12}$, $H_{23}^{\text{int}}$, $H_{13}^{\text{int}}$ (y otras combinaciones de uno externo y dos internos).

La utilidad olímpica del Teorema de Monge: si en un problema hay tres círculos y aparece una recta que corta a los tres en pares de puntos "simétricamente", esa recta es probablemente el eje de Monge. Reconocerlo evita cálculos largos.

Tangentes comunes y homotecia

Los centros de homotecia tienen una interpretación geométrica directa en términos de tangentes comunes:

— El centro externo $H_e$ es la intersección de las dos tangentes comunes externas a $\omega_1$ y $\omega_2$ (las que no pasan entre los círculos).

— El centro interno $H_i$ es la intersección de las dos tangentes comunes internas (las que pasan entre los círculos, posibles cuando los círculos son exteriores el uno al otro).

Esta conexión es útil en problemas de tangencias: si hay que encontrar el punto donde se cortan las tangentes externas a dos círculos, ese punto es el centro externo de homotecia, cuya posición se calcula con la razón $r_1 : r_2$ y la recta $O_1 O_2$.

En la ONEM regional, los problemas de homotecia suelen pedir calcular la longitud de una tangente común o identificar el punto de tangencia usando la homotecia que lleva un círculo en el otro.