Espiral de semejanza

Composición de rotación y homotecia

Una espiral de semejanza (o simplemente similitud directa) es la composición de una rotación de ángulo $\theta$ y una homotecia de razón $k > 0$, ambas con el mismo centro $O$. En otras palabras: la transformación $S$ que lleva $P$ al punto $P'$ tal que $OP' = k \cdot OP$ y el rayo $OP'$ forma un ángulo $\theta$ con el rayo $OP$ (en sentido antihorario).

En el plano complejo, si identificamos los puntos con números complejos y el centro es el origen, la espiral de semejanza es simplemente la multiplicación por el número complejo $w = k e^{i\theta} = k(\cos\theta + i \sin\theta)$: $P' = w \cdot P$.

Si el centro no es el origen sino un punto $O$, la fórmula es $P' - O = w(P - O)$, es decir $P' = O + w(P-O)$.

El punto fijo y la construcción de la espiral

Una espiral de semejanza con $k \neq 1$ o $\theta \neq 0$ tiene un único punto fijo: el centro $O$. (Si $k = 1$ y $\theta \neq 0$, es una rotación pura con centro $O$ como único punto fijo. Si $k \neq 1$ y $\theta = 0$, es una homotecia con $O$ como único punto fijo.)

Construcción: dados dos segmentos $AB$ y $A'B'$ (no paralelos ni de igual longitud como caso degenerado), existe una única espiral de semejanza que lleva $A$ en $A'$ y $B$ en $B'$. El centro $O$ se halla como la intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle ABA'$ y $\triangle ABB'$... más precisamente: $O$ es el segundo punto de intersección (distinto de $A$) de la circunferencia que pasa por $A$, $A'$, y de la circunferencia que pasa por $B$, $B'$, donde ambas circunferencias tienen $O$ como punto común.

Un método práctico: el centro $O$ de la espiral que lleva $AB$ en $A'B'$ es la intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle AA'X$ y $\triangle BB'X$ para cualquier punto $X$ apropiado. En problemas olímpicos, el centro suele ser un punto notable de la figura (un punto de Miquel, la intersección de diagonales de un cuadrilátero cíclico, etc.).

La espiral de semejanza y los cuadriláteros cíclicos

La conexión más importante entre la espiral de semejanza y la geometría del círculo es el siguiente resultado:

Proposición. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (inscrito en un círculo $\omega$). Sea $P = AC \cap BD$ la intersección de las diagonales. Entonces la espiral de semejanza de centro $P$ que lleva $A$ en $B$ también lleva $D$ en $C$. Equivalentemente, $\triangle PAB \sim \triangle PDC$ y $\triangle PAD \sim \triangle PBC$.

Demostración. Los ángulos $\angle PAB = \angle DAB$ y $\angle PDA = \angle CDA$ subtienden arcos iguales en $\omega$ (el arco $BC$): $\angle DAB = \angle DCB$ (ángulos inscritos) y $\angle CDA = \angle CBA$. Usando AA obtenemos las semejanzas. La espiral de centro $P$ que rota el ángulo $\angle APD$ y escala por $PA/PD$ lleva $A$ en $D$ y $B$ en $C$ (o según la semejanza elegida).

Este resultado es la base de muchos problemas sobre cuadriláteros cíclicos en la ONEM: siempre que haya cuatro puntos concíclicos y sus diagonales, hay una espiral de semejanza actuando.

El punto de Miquel y la espiral

El Punto de Miquel de un triángulo $\triangle ABC$ con puntos $D \in BC$, $E \in CA$, $F \in AB$ es el punto $M$ por el que pasan las tres circunferencias circunscritas de los triángulos $\triangle AEF$, $\triangle BFD$, $\triangle CDE$. Este punto existe siempre y es único (Teorema de Miquel).

La conexión con la espiral: $M$ es el centro de la espiral de semejanza que lleva $\triangle DEF$ en $\triangle BCA$ (o en alguna permutación). Más concretamente, la espiral de centro $M$ que lleva $D$ en $B$ también lleva $E$ en $C$ (o la permutación correspondiente). Esto convierte al punto de Miquel en un "hub" de espirales de semejanza.

En problemas olímpicos, reconocer el punto de Miquel permite demostrar concurrencias y concircularidades de forma elegante. La señal: cuatro puntos que forman tres triángulos con circunferencias circunscritas que pasan por un mismo punto.

Estrategia olímpica con espirales de semejanza

La espiral de semejanza es la herramienta "invisible" detrás de muchos problemas de geometría olímpica que parecen requerir cálculos largos. El patrón de uso es:

(1) Identificar dos pares de segmentos o triángulos semejantes con un punto en común. (2) Reconocer que existe una espiral de semejanza de centro $O$ que lleva un segmento/triángulo en el otro. (3) Deducir propiedades del punto $O$ (es concíclico con ciertos puntos, tiene ciertas propiedades de ángulos) para resolver el problema.

Un error frecuente: confundir la homotecia (solo escala, no rota) con la espiral de semejanza (escala y rota). Si los dos triángulos semejantes no están orientados igual (uno es espejo del otro), la transformación es una similitud inversa (composición de una reflexión con una homotecia), no una espiral directa.

En la ONEM nivel 1, la espiral de semejanza aparece principalmente al demostrar que cuatro puntos son concíclicos o que tres rectas son concurrentes. No se pide calcular explícitamente el ángulo ni la razón de la espiral.