Aplicaciones a configuraciones olímpicas

El Teorema de Tales y sus generalizaciones

El Teorema de Tales es el fundamento de la semejanza en geometría euclidiana: si una recta paralela a $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ (o sus prolongaciones) del triángulo $\triangle ABC$ en los puntos $D$ y $E$, entonces:

$\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AE}{EC}$ y $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}.$

Equivalentemente, los triángulos $\triangle ADE$ y $\triangle ABC$ son semejantes con razón $AD/AB$.

La generalización más útil: si en un triángulo $\triangle ABC$ trazamos una ceviana $AD$ (donde $D$ está en $BC$), el Teorema de la Bisectriz (un caso especial de Tales aplicado a la bisectriz) da $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$. Este resultado es consecuencia directa de la semejanza de triángulos cuando la ceviana es la bisectriz del ángulo $A$.

Configuración: diagonales de un cuadrilátero cíclico

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en $\omega$. Sea $P = AC \cap BD$. El resultado fundamental que combina semejanza y círculos es:

$\triangle PAB \sim \triangle PDC$ y $\triangle PAD \sim \triangle PBC.$

Demostración. $\angle PAB = \angle DAB$ subtiende el arco $DB$ desde $A$, y $\angle PDC = \angle BDC$ subtiende el mismo arco $BC$ desde $D$... más directamente: $\angle CAB = \angle CDB$ (ángulos inscritos sobre el arco $BC$) y $\angle ABD = \angle ACD$ (ángulos inscritos sobre el arco $AD$). Por AA: $\triangle PAB \sim \triangle PDC$.

Consecuencias: $\dfrac{PA}{PD} = \dfrac{PB}{PC} = \dfrac{AB}{DC}$ y $PA \cdot PC = PB \cdot PD$ (potencia del punto $P$ respecto a $\omega$). Esto unifica la semejanza con la potencia de un punto.

Configuración: el Teorema de Ptolomeo

El Teorema de Ptolomeo afirma que para un cuadrilátero cíclico $ABCD$:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC.$

Demostración usando semejanza. Construimos el punto $E$ en $BD$ tal que $\angle BAE = \angle CAD$. Entonces $\angle ABE = \angle ACD$ (ángulos inscritos en el arco $AD$), así $\triangle ABE \sim \triangle ACD$ por AA. Esto da $\dfrac{BE}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$, luego $BE = \dfrac{AB \cdot CD}{AC}$.

Análogamente, $\angle ADE = \angle BDA + \angle ADE$... (la demostración completa por semejanza usa dos pares de triángulos). El resultado final: $BD = BE + ED$ y cada pieza se calcula como razón de lados, dando la identidad de Ptolomeo. Esta demostración muestra que Ptolomeo es esencialmente un corolario de la semejanza de triángulos inscritos.

La desigualdad de Ptolomeo ($AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC$, con igualdad si y solo si $ABCD$ es cíclico) es una herramienta poderosa en olimpiadas para demostrar concircularidad.

Configuración: homotecia y círculos tangentes

Una de las aplicaciones más elegantes de la homotecia es la siguiente: Si tres círculos son tangentes mutuamente entre sí (tangencias externas), los tres puntos de tangencia son colineales.

Demostración. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ los tres círculos, y $T_{12}$, $T_{23}$, $T_{13}$ los puntos de tangencia. La homotecia $H(T_{12}, k)$ que lleva $\omega_1$ en $\omega_2$ (con $k = -r_2/r_1$, homotecia inversa en $T_{12}$) también lleva $\omega_3$ a sí misma... no exactamente, pero por el Teorema de Monge, los centros de homotecia son colineales, y los puntos de tangencia son los centros internos de homotecia de cada par. La colinealidad de $T_{12}$, $T_{23}$, $T_{13}$ es exactamente el Teorema de Monge aplicado a los tres centros internos.

Este resultado permite, en problemas con tres círculos tangentes, establecer una recta "de Monge" que pasa por todos los puntos de tangencia, simplificando los cálculos de ángulos y longitudes.

Estrategia global del Capítulo 4: unir los temas

Los tres temas del capítulo (semejanza, homotecia, espiral) no son herramientas separadas: son aspectos de la misma idea. Una similitud es cualquier transformación que conserva los ángulos y escala las distancias por un factor constante. La homotecia es la similitud sin rotación; la espiral añade la rotación.

El flujo típico de un problema olímpico de nivel ONEM que usa semejanza: (1) Identificar ángulos iguales en la figura (inscritos, tangente-cuerda, vértice común, paralelas). (2) Deducir semejanza de triángulos por AA. (3) Escribir la proporción de lados que da la longitud o relación pedida. (4) Verificar que los triángulos semejantes están orientados correctamente (no confundir $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con $\triangle ABC \sim \triangle FED$).

Dos errores frecuentes en la ONEM: (a) Escribir una semejanza con el orden de vértices incorrecto, obteniendo una proporción equivocada. (b) Usar un criterio de semejanza que no aplica (por ejemplo, ángulo en común pero sin el segundo ángulo igual, lo cual no da AA). La precisión en el orden de los vértices y en la justificación del criterio son los puntos que marcan la diferencia en el puntaje.