Fórmulas de área y aplicaciones

Fórmulas básicas de área del triángulo

El área de un triángulo $\triangle ABC$ puede calcularse de varias formas equivalentes. La más elemental usa base y altura:

$[\triangle ABC] = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h,$

donde $b$ es cualquier lado (base) y $h$ es la altura perpendicular desde el vértice opuesto a esa base.

Usando dos lados y el ángulo comprendido: si conocemos los lados $a = BC$, $b = CA$ y el ángulo $\angle C$ entre ellos,

$[\triangle ABC] = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C.$

Esta segunda fórmula es fundamental en olimpiadas porque permite calcular el área cuando no se conoce directamente la altura. Si $\angle C = 90°$, $\sin C = 1$ y recuperamos el caso del triángulo rectángulo: $[\triangle ABC] = \frac{1}{2} ab$.

Área en términos del circumradio y del inradio

Sea $R$ el circumradio (radio de la circunferencia circunscrita) y $r$ el inradio (radio de la circunferencia inscrita) del triángulo $\triangle ABC$ con semiperímetro $s = (a+b+c)/2$.

Con el inradio: $[\triangle ABC] = r \cdot s.$

Esta fórmula se obtiene descomponiendo el triángulo en los tres triángulos $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$ donde $O$ es el incentro: cada uno tiene base igual a un lado y altura $r$.

Con el circumradio: combinando la fórmula $[\triangle ABC] = \frac{1}{2}ab\sin C$ con la Ley del Seno $c/(\sin C) = 2R$:

$[\triangle ABC] = \dfrac{abc}{4R}.$

Estas tres fórmulas ($\frac{1}{2}bh$, $rs$, $\frac{abc}{4R}$) son los pilares del área en geometría olímpica y deben conocerse de memoria.

Áreas de cuadriláteros y polígonos

Para un paralelogramo de base $b$ y altura $h$: $[ABCD] = b \cdot h$. Para un rombo de diagonales $d_1$ y $d_2$: $[ABCD] = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Para un trapecio de bases $a$, $b$ y altura $h$: $[ABCD] = \frac{1}{2}(a+b) \cdot h$.

Para un cuadrilátero con diagonales $p$ y $q$ que se cortan formando un ángulo $\theta$: $[ABCD] = \frac{1}{2} p q \sin\theta$. Si las diagonales son perpendiculares ($\theta = 90°$): $[ABCD] = \frac{1}{2} pq$.

Para un polígono regular de $n$ lados, lado $\ell$ y apotema $a_p$: $[P_n] = \frac{1}{2} n \ell a_p$. El área también se escribe como $[P_n] = \frac{n \ell^2}{4} \cot(\pi/n)$.

La estrategia más útil en olimpiadas: descomponer figuras complejas en triángulos cuya área sea fácil de calcular, o aplicar el Principio de Complemento (restar el área de las partes conocidas al área total).

Razón de áreas y cevíanas

Si una ceviana $AD$ divide el triángulo $\triangle ABC$ en $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$, con $D$ en $BC$, entonces:

$\dfrac{[\triangle ABD]}{[\triangle ACD]} = \dfrac{BD}{DC},$

ya que los dos triángulos comparten la altura desde $A$ y sus bases son $BD$ y $DC$.

Este resultado es extraordinariamente útil: permite convertir razones de segmentos en razones de áreas y viceversa. Si $D$ es el punto de intersección de la mediana, la bisectriz o cualquier ceviana notable, la razón de áreas da información directa sobre la posición de $D$ en $BC$.

Corolario. Si $P$ es un punto interior del triángulo $\triangle ABC$ y se trazan las cevianas $AP$, $BP$, $CP$, entonces:

$\dfrac{[\triangle BPC]}{[\triangle ABC]} = \dfrac{PD}{AD}$, donde $D = AP \cap BC$.

También: $[\triangle BPC] + [\triangle CPA] + [\triangle APB] = [\triangle ABC]$, y la razón de cada sub-triángulo al total es igual a la coordenada baricéntrica de $P$.

Áreas y semejanza — la razón $k^2$

Si $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ con razón de semejanza $k$ (es decir, $AB/DE = BC/EF = CA/FD = k$), entonces:

$\dfrac{[\triangle ABC]}{[\triangle DEF]} = k^2.$

Demostración: $[\triangle ABC] = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}(k \cdot DE)(k \cdot EF) \sin E = k^2 \cdot \frac{1}{2} DE \cdot EF \sin E = k^2 [\triangle DEF]$.

Esta relación se extiende a cualquier par de figuras semejantes: polígonos semejantes con razón $k$ tienen razón de áreas $k^2$, y razón de perímetros $k$.

Aplicación directa en la ONEM: si en un problema aparecen dos triángulos semejantes y se pide la razón de sus áreas, la respuesta es el cuadrado de la razón de sus lados correspondientes. No es necesario calcular las alturas por separado.