Relaciones métricas en triángulos

La mediana y la fórmula de la mediana

En el triángulo $\triangle ABC$, la mediana $m_a$ es el segmento desde el vértice $A$ al punto medio $M$ de $BC$. Su longitud se calcula con la fórmula de la mediana:

$m_a^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4},$

donde $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$. Esta fórmula se obtiene aplicando la Ley del Coseno en los triángulos $\triangle ABM$ y $\triangle ACM$.

Análogamente: $m_b^2 = \dfrac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$ y $m_c^2 = \dfrac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$.

Una identidad útil: $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$, que relaciona la suma de cuadrados de las medianas con la suma de cuadrados de los lados.

El baricentro $G$ (intersección de las medianas) divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice: $AG = \frac{2}{3} m_a$, $GM = \frac{1}{3} m_a$.

La altura y el pie de la altura

La altura $h_a$ desde $A$ es la distancia del vértice $A$ al lado $BC$ (o su prolongación). Como el área puede calcularse de dos maneras: $[\triangle ABC] = \frac{1}{2} a h_a$, se tiene:

$h_a = \dfrac{2[\triangle ABC]}{a}.$

Si se conoce el área por la fórmula de Herón (ver Lección 5.4), esta relación da la altura directamente.

El pie de la altura $H$ (proyección de $A$ sobre $BC$) satisface $AH \perp BC$. En el triángulo rectángulo en $C$, $H = C$ y $h_c = 0$... En el triángulo obtusángulo (con el ángulo obtuso en $B$), el pie $H_a$ queda fuera del segmento $BC$.

Relaciones métricas directas: $BH = c \cos B$ y $HC = b \cos C$ (cuando $H$ está dentro de $BC$). También $AH^2 = AB^2 - BH^2 = c^2 - c^2 \cos^2 B = c^2 \sin^2 B$, así que $h_a = c \sin B = b \sin C$ (consistente con $[\triangle ABC] = \frac{1}{2}bc\sin A$).

El Teorema de Stewart

El Teorema de Stewart generaliza la fórmula de la mediana a cualquier ceviana. Si en el triángulo $\triangle ABC$, la ceviana $AD$ tiene longitud $t$ y divide $BC$ en $BD = m$ y $DC = n$ (de modo que $a = m + n$), entonces:

$b^2 m + c^2 n = a(t^2 + mn),$

donde $b = CA$, $c = AB$, $a = BC = m + n$.

La fórmula puede recordarse con el mnemónico "man + dad = bmb + cnc" (en inglés): $man + dad = b^2 m + c^2 n$ donde $a = m+n$ y $d = t$.

La fórmula de la mediana es el caso $m = n = a/2$: sustituyendo, $b^2(a/2) + c^2(a/2) = a(m_a^2 + (a/2)^2)$, lo que simplifica a $m_a^2 = (2b^2 + 2c^2 - a^2)/4$.

En olimpiadas, el Teorema de Stewart es útil cuando el enunciado da la longitud de una ceviana específica (bisectriz, altura en un triángulo escaleno, etc.) y pide calcular un lado o viceversa.

La bisectriz y su longitud

La bisectriz interior desde $A$ tiene longitud $t_a$ dada por:

$t_a^2 = bc \left[1 - \left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right] = \dfrac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2}.$

Esta fórmula se obtiene del Teorema de Stewart con $m = BD = \frac{ac}{b+c}$ y $n = DC = \frac{ab}{b+c}$ (Teorema de la Bisectriz: $BD/DC = AB/AC = c/b$).

Forma equivalente: $t_a = \dfrac{2bc}{b+c} \cos\dfrac{A}{2}.$

Esta segunda forma es muy práctica: si se conoce el ángulo $A$, la bisectriz se calcula directamente. En particular, si $b = c$ (triángulo isósceles), $t_a = b \cos(A/2)$ y la bisectriz coincide con la mediana y la altura.

Aplicaciones olímpicas de las relaciones métricas

Las relaciones métricas más frecuentes en la ONEM regional son:

— Triángulo rectángulo: $a^2 = b^2 + c^2$ (Pitágoras), $h_c^2 = m \cdot n$ (media geométrica), $b^2 = a \cdot m$, $c^2 = a \cdot n$ (proyecciones), donde $m$ y $n$ son las proyecciones de $b$ y $c$ sobre la hipotenusa $a$.

— Triángulo equilátero de lado $\ell$: altura $h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}$, área $[T] = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$, inradio $r = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}$, circumradio $R = \frac{\ell}{\sqrt{3}}$.

— Fórmula de las proyecciones: en cualquier triángulo, $a = b\cos C + c \cos B$. Esta identidad (consecuencia directa de las alturas) es útil para despejar un lado cuando se conocen los otros dos y los ángulos adyacentes.

— Identidad de Ptolomeo (vista en el Capítulo 4): en un cuadrilátero cíclico, $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. Es una relación métrica entre longitudes de lados y diagonales.

La estrategia para problemas de relaciones métricas: (1) identificar qué segmentos son conocidos y cuáles se piden; (2) elegir la fórmula que conecta directamente esos segmentos; (3) evitar coordenadas cuando hay una fórmula directa.