Ley del coseno y del seno

La Ley del Coseno

En el triángulo $\triangle ABC$ con lados $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$ y ángulo $\angle A$ opuesto al lado $a$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A.$

Demostración. Trazamos la altura $h$ desde $C$, con pie $H$ en $AB$. Entonces $BH = a\cos B$ (o $BH = c - b\cos A$ si $H$ cae dentro de $AB$). Aplicando Pitágoras al triángulo rectángulo $\triangle CHB$: $a^2 = h^2 + BH^2$. Con $h = b \sin A$ y $BH = c - b\cos A$:

$a^2 = b^2\sin^2 A + (c - b\cos A)^2 = b^2\sin^2 A + c^2 - 2bc\cos A + b^2\cos^2 A = b^2 + c^2 - 2bc\cos A.$

Análogamente: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ y $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.

El teorema de Pitágoras es el caso $\angle A = 90°$ (donde $\cos 90° = 0$). Si $\angle A > 90°$, $\cos A < 0$ y $a^2 > b^2 + c^2$; si $\angle A < 90°$, $a^2 < b^2 + c^2$.

La Ley del Seno

En el triángulo $\triangle ABC$ con circumradio $R$:

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R.$

Demostración. Trazamos el diámetro $BD$ de la circunscrita desde $B$. El triángulo $\triangle BDC$ es rectángulo en $C$ (ángulo inscrito en semicírculo), así que $\sin(\angle BDC) = BC/BD = a/(2R)$. Pero $\angle BDC = \angle BAC = A$ (ángulos inscritos sobre el mismo arco $BC$). Luego $\sin A = a/(2R)$, es decir $a/\sin A = 2R$. El mismo argumento se aplica a los otros lados.

La Ley del Seno tiene dos aplicaciones principales: (1) calcular un lado conociendo otro lado y dos ángulos; (2) calcular el circumradio $R = a/(2\sin A)$.

En problemas olímpicos, la Ley del Seno aparece en configuraciones con ángulos inscritos: si se conoce que $\angle BAC = \alpha$ y $BC = a$, el circumradio queda determinado como $R = a/(2\sin\alpha)$.

Despejar ángulos y lados

La Ley del Coseno permite calcular un ángulo si se conocen los tres lados:

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}.$

Esta forma es especialmente útil en problemas donde se dan longitudes y se pide demostrar que un triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

La Ley del Seno, despejada, da: $\sin A = a \cdot \sin B / b$. Esta forma (el "caso ambiguo") debe manejarse con cuidado: si $\sin A < 1$, hay dos posibles valores de $A$ (uno agudo y uno obtuso), y el contexto geométrico decide cuál es el correcto.

Combinando ambas leyes: para calcular el tercer lado dado dos lados y el ángulo comprendido, usa la Ley del Coseno. Para calcular un ángulo dado un lado y el ángulo opuesto a otro lado, usa la Ley del Seno. Para calcular el tercer lado dado dos ángulos y un lado, usa la Ley del Seno dos veces.

Fórmulas trigonométricas de área

Combinando la Ley del Seno con la fórmula $[\triangle ABC] = \frac{1}{2}bc\sin A$:

$[\triangle ABC] = \dfrac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} = \dfrac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} = \dfrac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}.$

Estas fórmulas son útiles cuando se conocen los ángulos y un solo lado. También: usando $a = 2R\sin A$ en la fórmula $[\triangle ABC] = abc/(4R)$:

$[\triangle ABC] = 2R^2 \sin A \sin B \sin C.$

Esta última expresión conecta el área directamente con el circumradio y los tres ángulos, y aparece en problemas que involucran la circunscrita.

Para el inradio: de $[\triangle ABC] = rs$ y la Ley del Seno, se obtiene $r = 4R \sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$. Esta identidad conecta el inradio, el circumradio y los ángulos del triángulo.

Aplicaciones en configuraciones olímpicas

La Ley del Coseno resuelve directamente el problema clásico: "dados los tres lados, calcular los ángulos (y por ende el circumradio, el inradio y el área)". En la ONEM regional, los datos numéricos suelen ser enteros simples (lados $3$, $4$, $5$ o $5$, $12$, $13$) y los ángulos resultan ser ángulos notables ($30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $120°$).

Identificar el triángulo 30-60-90: lados en proporción $1 : \sqrt{3} : 2$. Los datos $a = 1$, $b = \sqrt{3}$, $c = 2$ dan $\cos C = (1+3-4)/2\sqrt{3} = 0$, confirmando $\angle C = 90°$.

Identificar el triángulo 60°: si $a = b = c$ (equilátero), $\cos A = (a^2+a^2-a^2)/(2a^2) = 1/2$, luego $\angle A = 60°$. Si solo $a^2 = b^2 + c^2 - bc$, entonces $\cos A = 1/2$ y $\angle A = 60°$ aunque el triángulo no sea equilátero.

La Ley del Seno, combinada con propiedades de ángulos inscritos, da la relación $a = 2R\sin A$: en problemas con la circunscrita, esta igualdad permite expresar los lados en función de $R$ y los ángulos, reduciendo el álgebra.