Fórmulas de Herón y Brahmagupta

La fórmula de Herón

Dado el triángulo $\triangle ABC$ con lados $a$, $b$, $c$ y semiperímetro $s = (a+b+c)/2$, el área es:

$[\triangle ABC] = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$

Demostración. De la Ley del Coseno: $\cos A = (b^2+c^2-a^2)/(2bc)$. Entonces $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = (1-\cos A)(1+\cos A)$. Calculamos:

$1 - \cos A = 1 - \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2bc} = \dfrac{a^2-(b-c)^2}{2bc} = \dfrac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}.$

$1 + \cos A = \dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc} = \dfrac{2s \cdot 2(s-a)}{2bc}.$

Luego $\sin^2 A = \dfrac{2s \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}{4b^2c^2}$, y como $[\triangle ABC] = \frac{1}{2}bc\sin A$:

$[\triangle ABC]^2 = \tfrac{1}{4}b^2c^2 \sin^2 A = s(s-a)(s-b)(s-c).$

Propiedades y casos especiales de la fórmula de Herón

La fórmula de Herón es válida para cualquier triángulo no degenerado. Para que el área sea real y positiva, es necesario y suficiente que se cumplan las desigualdades triangulares: $s > a$, $s > b$, $s > c$ (equivalentemente, $a + b > c$, $a + c > b$, $b + c > a$).

Triángulo equilátero de lado $\ell$: $s = 3\ell/2$, $s-a = s-b = s-c = \ell/2$. Herón da $[T] = \sqrt{(3\ell/2)(\ell/2)^3} = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$. ✓

Triángulo rectángulo con catetos $p$, $q$: $a = \sqrt{p^2+q^2}$, $s = (p+q+\sqrt{p^2+q^2})/2$. Herón da $[T] = pq/2$. ✓

Triángulos heronianos: un triángulo es heroniano si tiene lados enteros y área entera. El más pequeño es el $(3,4,5)$: $s = 6$, área $= \sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1} = 6$. El $(5,12,13)$: $s=15$, área $= \sqrt{15\cdot10\cdot3\cdot2} = 30$. La familia de triángulos heronianos aparece con frecuencia en la ONEM porque los datos numéricos resultan limpios.

La fórmula de Brahmagupta

Para un cuadrilátero cíclico $ABCD$ (inscrito en una circunferencia) con lados $a = AB$, $b = BC$, $c = CD$, $d = DA$ y semiperímetro $s = (a+b+c+d)/2$, el área es:

$[ABCD] = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$

Nota: a diferencia de Herón, no aparece el factor $s$ dentro de la raíz. Esto se debe a que en un cuadrilátero cíclico los ángulos opuestos suman $180°$, lo que introduce una relación adicional.

Demostración esquemática. Dividimos $ABCD$ con la diagonal $AC = p$. Los dos triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle ACD$ tienen ángulos opuestos $\angle B + \angle D = 180°$, luego $\cos D = -\cos B$. Aplicando la Ley del Coseno a cada triángulo para expresar $p^2$, igualando y usando $[ABCD] = [\triangle ABC] + [\triangle ACD]$ con la identidad trigonométrica $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$, se llega a la fórmula de Brahmagupta.

La fórmula de Herón es el caso degenerado $d = 0$ (el cuadrilátero colapsa en un triángulo): $s_{\text{Brahmagupta}} \to s_{\text{Herón}}$ y $(s-d) \to s$.

Cuándo aplicar Brahmagupta: la condición de ciclicidad

La fórmula de Brahmagupta solo es válida para cuadriláteros cíclicos. Un cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si:

$\angle A + \angle C = 180°$ (y equivalentemente $\angle B + \angle D = 180°$).

Para un cuadrilátero general (no necesariamente cíclico), la fórmula de Bretschneider generaliza Brahmagupta:

$[ABCD] = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd\cos^2\!\left(\tfrac{A+C}{2}\right)}.$

Cuando $A + C = 180°$, el término extra es cero y recuperamos Brahmagupta.

En la ONEM, la fórmula de Brahmagupta se aplica cuando el enunciado menciona explícitamente que $ABCD$ está inscrito en una circunferencia, o cuando los datos de los cuatro lados y el área son consistentes con la fórmula (lo que puede usarse para demostrar la ciclicidad).

Estrategia olímpica: elegir entre Herón y Brahmagupta

El flujo de decisión en un problema de área:

(1) Si la figura es un triángulo con los tres lados conocidos → Herón.

(2) Si la figura es un cuadrilátero cíclico con los cuatro lados conocidos → Brahmagupta.

(3) Si la figura es un cuadrilátero con lados y ángulos conocidos → Bretschneider o descomponer en triángulos.

(4) Si se conocen los ángulos y un lado → Ley del Seno + fórmula $\frac{1}{2}bc\sin A$.

Un error frecuente: aplicar Brahmagupta a un cuadrilátero que no es cíclico. El resultado será incorrecto. Siempre verificar (o demostrar) la ciclicidad antes de aplicar la fórmula.

Otro error: confundir el semiperímetro de Brahmagupta con el de Herón. En Brahmagupta $s = (a+b+c+d)/2$ (cuatro lados); en Herón $s = (a+b+c)/2$ (tres lados). Si se aplica la fórmula de Herón con cuatro lados (sumando los cuatro y dividiendo por 2), el resultado es incorrecto.