Coordenadas y ecuaciones de rectas

El sistema de coordenadas y la distancia entre dos puntos

El plano cartesiano asocia a cada punto $P$ un par ordenado $(x, y)$ con $x, y \in \mathbb{R}$. La distancia entre $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$ es:

$d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$

Esta fórmula es consecuencia directa del Teorema de Pitágoras: el segmento $P_1P_2$ es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos $|x_2 - x_1|$ e $|y_2 - y_1|$.

El punto medio $M$ de $P_1P_2$ tiene coordenadas $M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

En olimpiadas, estas fórmulas elementales permiten demostrar de manera inmediata propiedades como "los diagonales de un paralelogramo se bisecan": si $ABCD$ es un paralelogramo con vértices conocidos, basta verificar que el punto medio de $AC$ coincide con el punto medio de $BD$.

Ecuaciones de la recta

Dada una recta en el plano, hay varias formas equivalentes de describirla:

Forma pendiente-intercepto: $y = mx + b$, donde $m$ es la pendiente y $b$ el intercepto con el eje $y$. Válida para rectas no verticales.

Forma punto-pendiente: si la recta pasa por $(x_0, y_0)$ con pendiente $m$: $y - y_0 = m(x - x_0)$.

Forma general: $ax + by + c = 0$ con $a, b$ no ambos cero. Toda recta tiene esta forma (incluyendo las verticales, donde $b = 0$).

Pendiente a partir de dos puntos: si la recta pasa por $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$ con $x_1 \neq x_2$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente ($m_1 = m_2$) y perpendiculares si $m_1 \cdot m_2 = -1$ (o si una es vertical y la otra horizontal).

Distancia de un punto a una recta

La distancia del punto $P_0 = (x_0, y_0)$ a la recta $\ell: ax + by + c = 0$ es:

$d(P_0, \ell) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$

Demostración. El pie de la perpendicular desde $P_0$ a $\ell$ es el punto $Q$ de $\ell$ más cercano a $P_0$. El vector director de $\ell$ es $\vec{v} = (-b, a)$ y el vector normal es $\vec{n} = (a, b)$. La recta perpendicular por $P_0$ tiene dirección $\vec{n}$ y su intersección con $\ell$ da el pie $Q$. El cálculo de $|P_0 Q|$ conduce a la fórmula anterior.

Aplicación directa: si el triángulo $\triangle ABC$ tiene vértice $A = (x_0, y_0)$ y el lado $BC$ está sobre la recta $ax + by + c = 0$, entonces la altura desde $A$ es exactamente $d(A, BC) = |ax_0 + by_0 + c|/\sqrt{a^2+b^2}$, y el área del triángulo es $[\triangle ABC] = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot d(A, BC)$.

Esta fórmula es una herramienta central en geometría analítica olímpica: permite calcular áreas sin identificar la altura geométricamente.

Intersección de rectas y sistemas lineales

El punto de intersección de dos rectas $\ell_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ y $\ell_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ se obtiene resolviendo el sistema lineal $2 \times 2$. Por la regla de Cramer:

$x = \dfrac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \quad y = \dfrac{a_2 c_1 - a_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1},$

siempre que el determinante $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$ (las rectas no son paralelas).

Condición de concurrencia: tres rectas $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ son concurrentes si y solo si el determinante $3 \times 3$ formado por sus coeficientes es cero:

$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0.$

En olimpiadas, la concurrencia de cevianas (Ceva), alturas o mediatrices puede verificarse poniendo las rectas en forma general y evaluando este determinante, en lugar de hacer argumentos sintéticos.

Estrategia analítica en problemas ONEM

El método de coordenadas es especialmente eficaz cuando: (1) el problema involucra puntos medios, paralelas o perpendiculares; (2) se pide encontrar un punto específico (incentro, baricentro, ortocentro) o demostrar que tres puntos son colineales; (3) la figura tiene suficiente simetría para elegir un sistema de coordenadas conveniente.

Elección del sistema de coordenadas: situar un lado del triángulo sobre el eje $x$ (por ejemplo, $B = (0,0)$ y $C = (a, 0)$) y $A = (d, h)$ simplifica enormemente los cálculos. De esta forma $a = BC$ es el denominador natural y la altura $h_a = h$ queda explícita.

Colinealidad de tres puntos $P_1, P_2, P_3$: equivale a que el área del triángulo que forman sea cero, es decir:

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Este criterio algebraico reemplaza en muchos problemas olímpicos la demostración sintética de colinealidad.