Ecuación de la circunferencia

Ecuación estándar de la circunferencia

La circunferencia de centro $O = (h, k)$ y radio $r > 0$ es el conjunto de puntos $P = (x, y)$ tales que $d(P, O) = r$. Elevando al cuadrado la definición de distancia:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.$

Esta es la forma estándar (o canónica) de la ecuación de la circunferencia. A partir de ella se leen directamente el centro $(h, k)$ y el radio $r$.

Ejemplo: $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25$ tiene centro $(3, -1)$ y radio $5$.

Si el centro está en el origen: $x^2 + y^2 = r^2$. Esta forma aparece frecuentemente en olimpiadas cuando se elige el sistema de coordenadas con el circuncentro en el origen.

Forma general y completar el cuadrado

Expandiendo la forma estándar se obtiene la forma general:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0,$

donde $D = -2h$, $E = -2k$ y $F = h^2 + k^2 - r^2$. Para recuperar el centro y el radio a partir de la forma general se completan cuadrados:

$\left(x + \tfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \tfrac{E}{2}\right)^2 = \tfrac{D^2 + E^2}{4} - F.$

El centro es $\left(-D/2,\, -E/2\right)$ y el radio es $r = \sqrt{(D^2+E^2)/4 - F}$, siempre que $(D^2+E^2)/4 - F > 0$. Si este valor es cero, la "circunferencia" degenera en un punto; si es negativo, no hay circunferencia real.

En problemas olímpicos donde se dan tres puntos no colineales y se pide la circunscrita, se sustituyen los tres puntos en la forma general para obtener un sistema $3 \times 3$ en $D$, $E$, $F$.

Tangente a una circunferencia en un punto

Sea la circunferencia $\mathcal{C}: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ y un punto $P_0 = (x_0, y_0)$ sobre $\mathcal{C}$. La tangente a $\mathcal{C}$ en $P_0$ es perpendicular al radio $OP_0$ en $P_0$.

El vector $\overrightarrow{OP_0} = (x_0 - h,\, y_0 - k)$ es normal a la tangente. La ecuación de la tangente es:

$(x_0 - h)(x - h) + (y_0 - k)(y - k) = r^2.$

Para la circunferencia centrada en el origen $x^2 + y^2 = r^2$, la tangente en $(x_0, y_0)$ es simplemente $x_0 x + y_0 y = r^2$.

Condición de tangencia externa: la recta $ax + by + c = 0$ es tangente a $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ si y solo si $d(O, \ell) = r$, es decir $|ah + bk + c|/\sqrt{a^2+b^2} = r$. Esta condición aparece en muchos problemas donde se pide encontrar la ecuación de una tangente desde un punto exterior.

Intersección de dos circunferencias y eje radical

Dadas dos circunferencias $\mathcal{C}_1: x^2 + y^2 + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0$ y $\mathcal{C}_2: x^2 + y^2 + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0$, la diferencia $\mathcal{C}_1 - \mathcal{C}_2$ da la ecuación de la recta radical:

$(D_1 - D_2)x + (E_1 - E_2)y + (F_1 - F_2) = 0.$

Si las circunferencias se intersectan en dos puntos, la recta radical pasa por ellos. Si son exteriores (sin intersección), la recta radical es el lugar geométrico de los puntos con la misma potencia respecto a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$.

La potencia de un punto $P$ respecto a la circunferencia $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ es $\text{pow}(P) = x_P^2 + y_P^2 + Dx_P + Ey_P + F$. Si $P$ está fuera de la circunferencia, $\text{pow}(P) = d(P, O)^2 - r^2 > 0$.

El eje radical de tres circunferencias (tomadas de dos en dos) es un punto: el centro radical. Este resultado tiene aplicaciones en problemas con circunferencias mutuamente tangentes o inscritas en configuraciones más complejas.

Circunscrita, inscrita y excircunferencias por coordenadas

Dado el triángulo $\triangle ABC$ con $B = (0,0)$, $C = (a, 0)$ y $A = (d, h)$, la circunscrita tiene centro en la intersección de las mediatrices perpendiculares:

— Mediatriz de $BC$: la recta vertical $x = a/2$.

— Mediatriz de $AB$: se calcula el punto medio $(d/2, h/2)$ y la pendiente perpendicular $-d/h$ (si $h \neq 0$).

El baricentro $G$ (intersección de las medianas) tiene coordenadas $G = \left(\dfrac{0+a+d}{3},\, \dfrac{0+0+h}{3}\right) = \left(\dfrac{a+d}{3},\, \dfrac{h}{3}\right)$.

El ortocentro $H$ (intersección de las alturas) satisface las ecuaciones de las alturas: altura desde $A$ es la vertical $x = d$ si $BC$ es el eje $x$... no exactamente; la altura desde $A$ es perpendicular a $BC$ (el eje $x$), luego es la recta $x = d$. La altura desde $B$ es perpendicular a $AC$: su pendiente es $-\frac{a-d}{h}$, y pasa por $(0,0)$: $y = -\frac{a-d}{h} x$. El ortocentro es $H = \left(d,\, -\frac{d(a-d)}{h}\right)$.

La recta de Euler pasa por $G$, $H$ y el circuncentro $O$, con $G$ dividiendo $OH$ en razón $1:2$ desde $O$. Esto puede verificarse directamente con las coordenadas calculadas.