Coordenadas baricéntricas: introducción

Definición: masa, peso y punto de equilibrio

Dado el triángulo de referencia $\triangle ABC$, un punto $P$ tiene coordenadas baricéntricas $(u : v : w)$ si $P$ es el baricentro (centro de masa) del sistema formado por masas $u$, $v$, $w$ situadas en $A$, $B$, $C$ respectivamente.

En términos de vectores de posición: si $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ son los vectores de $A$, $B$, $C$, entonces

$\mathbf{p} = \dfrac{u\,\mathbf{a} + v\,\mathbf{b} + w\,\mathbf{c}}{u + v + w}.$

Las coordenadas $(u : v : w)$ son homogéneas: $(u:v:w)$ y $(ku:kv:kw)$ representan el mismo punto para cualquier $k \neq 0$. Las coordenadas normalizadas (o absolutas) son $\bar{u} = u/(u+v+w)$, $\bar{v} = v/(u+v+w)$, $\bar{w} = w/(u+v+w)$, con $\bar{u}+\bar{v}+\bar{w}=1$.

Relación con áreas: las coordenadas normalizadas son exactamente las razones de áreas:

$\bar{u} = \dfrac{[\triangle PBC]}{[\triangle ABC]}, \quad \bar{v} = \dfrac{[\triangle APC]}{[\triangle ABC]}, \quad \bar{w} = \dfrac{[\triangle ABP]}{[\triangle ABC]}.$

Esta es la propiedad más útil en olimpiadas: las coordenadas baricéntricas son razones de áreas.

Puntos notables en coordenadas baricéntricas

Los puntos más importantes del triángulo tienen coordenadas baricéntricas simples:

— Vértices: $A = (1:0:0)$, $B = (0:1:0)$, $C = (0:0:1)$.

— Baricentro $G$: intersección de las medianas; las medianas dividen los lados en razón $1:1$, luego $G = (1:1:1)$.

— Incentro $I$: centro de la circunferencia inscrita; las bisectrices dividen los lados opuestos en la razón de los lados adyacentes (Teorema de la Bisectriz). Si $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, entonces $I = (a:b:c)$.

— Circuncentro $O$: $O = (\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C)$, que en términos de lados se escribe $O = (a^2(b^2+c^2-a^2) : b^2(c^2+a^2-b^2) : c^2(a^2+b^2-c^2))$.

— Ortocentro $H$: $H = (\tan A : \tan B : \tan C)$.

— **Punto medio de $BC$**: $M_a = (0:1:1)$. Analogamente $M_b = (1:0:1)$ y $M_c = (1:1:0)$.

Memorizar estas coordenadas es equivalente a memorizar las propiedades métricas de los puntos notables, pero en un lenguaje más compacto.

Cevianas y el Teorema de Ceva en coordenadas baricéntricas

Una ceviana desde $A$ pasa por un punto $D = (0 : v : w)$ en $BC$ (la coordenada de $A$ es cero porque $D$ está en el lado opuesto a $A$). La razón en que $D$ divide $BC$ es:

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{w}{v}.$

El Teorema de Ceva: las cevianas $AD$, $BE$, $CF$ son concurrentes si y solo si

$\dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} \cdot \dfrac{AF}{FB} = 1.$

En coordenadas baricéntricas, si $D = (0:v_D:w_D)$, $E = (u_E:0:w_E)$, $F = (u_F:v_F:0)$, la condición de Ceva es $v_D \cdot w_E \cdot u_F = w_D \cdot u_E \cdot v_F$, lo que se verifica directamente.

Si las tres cevianas concurren en $P = (u:v:w)$, entonces los puntos de los lados son $D = (0:v:w)$, $E = (u:0:w)$, $F = (u:v:0)$. Esto da una forma muy limpia de encontrar los pies de las cevianas a partir del punto de concurrencia.

Conversión entre coordenadas baricéntricas y cartesianas

Si el triángulo de referencia tiene vértices en coordenadas cartesianas $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$, $C = (x_C, y_C)$, entonces el punto $P$ con coordenadas baricéntricas normalizadas $(\bar{u}, \bar{v}, \bar{w})$ tiene coordenadas cartesianas:

$x_P = \bar{u}\, x_A + \bar{v}\, x_B + \bar{w}\, x_C, \quad y_P = \bar{u}\, y_A + \bar{v}\, y_B + \bar{w}\, y_C.$

Para convertir de cartesianas a baricéntricas, se usa la interpretación de áreas:

$\bar{u} = \dfrac{[\triangle PBC]}{[\triangle ABC]}, \quad \bar{v} = \dfrac{[\triangle APC]}{[\triangle ABC]}, \quad \bar{w} = \dfrac{[\triangle ABP]}{[\triangle ABC]}.$

Cada área puede calcularse con el determinante $3 \times 3$ de las coordenadas de los tres vértices: $[\triangle P_1 P_2 P_3] = \frac{1}{2} |\det(\ldots)|$.

Esta conversión es fundamental cuando se quiere verificar si un resultado obtenido con coordenadas baricéntricas coincide con uno calculado con coordenadas cartesianas, o para traducir propiedades entre los dos sistemas.

Ventajas de las coordenadas baricéntricas en olimpiadas

Las coordenadas baricéntricas son particularmente eficaces cuando el problema involucra puntos definidos por razones (como el incentro o el excéntro), cevianas concurrentes, o propiedades que dependen de los ángulos o los lados del triángulo de referencia.

Comparación con coordenadas cartesianas: en cartesianas, el cálculo del incentro requiere conocer los lados y luego calcular $I = (ax_A + bx_B + cx_C)/(a+b+c)$; en baricéntricas, la fórmula $I = (a:b:c)$ es inmediata.

Las coordenadas baricéntricas son menos eficaces cuando el problema involucra distancias o ángulos en términos absolutos (no relativos al triángulo de referencia), porque la fórmula de distancia en baricéntricas es más compleja que la euclidiana.

Regla práctica: si el enunciado menciona bisectrices, medianas, o puntos definidos por razones de segmentos en los lados del triángulo, considerar coordenadas baricéntricas. Si el enunciado involucra distancias absolutas, circunferencias externas o ángulos específicos, las coordenadas cartesianas o trigonométricas suelen ser más directas.