Aplicaciones a problemas ONEM

La fórmula del cordón (Shoelace) para el área de un polígono

El área de un polígono con vértices $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)$ en orden (horario o antihorario) es:

$[P] = \dfrac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|,$

donde los índices son módulo $n$ (es decir, $x_{n+1} = x_1$, $y_{n+1} = y_1$). Esta fórmula se llama del cordón porque se puede visualizar como "cruzar" las coordenadas en zigzag.

Para el triángulo $\triangle ABC$ con $A = (x_1,y_1)$, $B = (x_2,y_2)$, $C = (x_3,y_3)$:

$[\triangle ABC] = \dfrac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|.$

Esta fórmula es equivalente al determinante: $[\triangle ABC] = \frac{1}{2}|\det(B-A, C-A)|$. Es la herramienta más rápida para calcular áreas cuando se conocen las coordenadas de todos los vértices.

Demostrar concurrencia y colinealidad por coordenadas

La concurrencia de tres rectas es el problema más frecuente en geometría olímpica (alturas, cevianas, mediatrices). El método analítico:

(1) Escribir la ecuación de cada una de las tres rectas en forma $ax + by = c$.

(2) Resolver el sistema de las dos primeras: obtener el punto $P$.

(3) Verificar que $P$ satisface la ecuación de la tercera recta.

Si el paso (3) se cumple, las tres rectas son concurrentes. Este método es mecánico y siempre funciona, aunque puede ser algebraicamente intenso. En la ONEM regional, los datos numéricos suelen ser enteros pequeños, lo que hace que los cálculos sean manejables.

La colinealidad de tres puntos $P_1$, $P_2$, $P_3$ se verifica con el determinante:

$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Equivalentemente: la pendiente de $P_1P_2$ debe ser igual a la pendiente de $P_2P_3$.

El método de coordenadas: estrategia paso a paso

Cuando se decide resolver un problema con coordenadas, el flujo recomendado es:

Paso 1 — Asignar coordenadas cómodas. Aprovechar la simetría o las perpendicularidades del problema. Opciones comunes: $B = (0,0)$, $C = (a,0)$, $A = (d,h)$; o situar el circuncentro en el origen.

Paso 2 — Expresar todos los objetos relevantes. Escribir las ecuaciones de las rectas, circunferencias y puntos notables en términos de $a$, $d$, $h$ (o los parámetros elegidos).

Paso 3 — Calcular el objeto pedido. Puede ser un punto de intersección, una distancia, un área o una ecuación.

Paso 4 — Interpretar el resultado. Verificar que el resultado tiene sentido geométrico; si el resultado es una relación algebraica, traducirla a lenguaje geométrico.

El error más común: asignar coordenadas numéricas específicas (por ejemplo, $A = (0,3)$, $B = (-4,0)$, $C = (4,0)$) para un problema que pide una demostración general. En ese caso, el cálculo solo verifica el resultado para un triángulo particular, no lo demuestra en general. Para demostraciones, se deben usar parámetros.

Aplicación: el ortocentro y la recta de Euler

Tomemos el triángulo con $B = (0,0)$, $C = (a,0)$, $A = (d,h)$. Calculemos el ortocentro $H$.

La altura desde $A$ es perpendicular a $BC$. Como $BC$ está sobre el eje $x$ (dirección $(1,0)$), la altura desde $A$ es la recta vertical $x = d$.

La altura desde $B$ es perpendicular a $AC$. La dirección de $AC$ es $(d - a, h)$, así que la altura desde $B$ tiene dirección perpendicular $(h, -(d-a)) = (h, a-d)$ y pasa por $B = (0,0)$: ecuación paramétrica $(th, t(a-d))$.

El ortocentro es la intersección: $x = d$ implica $th = d$, luego $t = d/h$, y $y = d(a-d)/h$. Así $H = \left(d,\, \dfrac{d(a-d)}{h}\right)$.

El baricentro es $G = \left(\dfrac{a+d}{3}, \dfrac{h}{3}\right)$ y el circuncentro (mediatriz de $BC$ es $x = a/2$; mediatriz de $AB$...) se calcula como $O = \left(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a^2 - 2ad + d^2 + h^2 - a^2 + 2a \cdot a/2 \cdot 0}{2h}\right)$... usando $O = (a/2,\, (a^2/2 - ad + d^2 + h^2)/(2h))$ (deducible directamente). Se puede verificar que $O$, $G$, $H$ son colineales y que $G$ divide $OH$ en razón $1:2$.

Problemas ONEM típicos con solución analítica

Los problemas de la ONEM regional que más se benefician del enfoque analítico son:

(1) Demostrar que un punto es el circuncentro, incentro o baricentro: asignar coordenadas y verificar la distancia equidistante (circuncentro), o la propiedad de bisectriz (incentro).

(2) Encontrar el área de una figura definida por intersecciones: calcular las coordenadas de los vértices de la figura y aplicar la fórmula del cordón.

(3) Demostrar que tres puntos son colineales (colinealidad de Simson, Euler, etc.): calcular las coordenadas de los tres puntos y evaluar el determinante.

(4) Problemas con circunferencias y tangentes: usar la condición de distancia del centro al punto igual al radio, o la condición de tangencia.

(5) Loci: determinar el lugar geométrico de un punto que satisface una condición expresada en términos de distancias o ángulos. En coordenadas, un locus es la solución de una ecuación en $x$ e $y$, frecuentemente una recta o una circunferencia.

En todos los casos, el enfoque analítico garantiza un camino sistemático hacia la solución, aunque puede requerir más cálculo algebraico que un argumento sintético elegante.