Traslaciones y rotaciones

Traslaciones: definición y propiedades

Una traslación de vector $\vec{v} = (a, b)$ es la función $T_{\vec{v}}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dada por $T_{\vec{v}}(x, y) = (x + a,\, y + b)$. Toda traslación es una isometría: preserva distancias, ángulos y áreas.

Propiedades fundamentales: (1) La composición de dos traslaciones es una traslación: $T_{\vec{u}} \circ T_{\vec{v}} = T_{\vec{u}+\vec{v}}$. (2) La traslación inversa de $T_{\vec{v}}$ es $T_{-\vec{v}}$. (3) Una traslación no tiene puntos fijos (salvo la traslación nula $\vec{v} = \vec{0}$).

En problemas olímpicos, la traslación sirve para mover una figura de modo que un vértice o un centro coincida con el origen, simplificando los cálculos. También se usa para construir un punto $P'$ tal que $PP'$ tenga una longitud o dirección prescrita.

Ejemplo: si $ABCD$ es un paralelogramo, la traslación de vector $\overrightarrow{AB}$ lleva $D$ a $C$ y $A$ a $B$. Esto implica de forma inmediata que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, que es justamente la definición de paralelogramo en términos de vectores.

Rotaciones: definición y matriz

Una rotación de ángulo $\theta$ centrada en el origen es la función $R_\theta(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)$. Para una rotación centrada en un punto $C = (c_1, c_2)$, primero se traslada $C$ al origen, se rota, y se traslada de vuelta:

$R_{C,\theta}(P) = C + R_\theta(P - C).$

Toda rotación es una isometría que fija exactamente el punto $C$ (el centro). La composición de dos rotaciones del mismo centro es una rotación: $R_{C,\alpha} \circ R_{C,\beta} = R_{C,\alpha+\beta}$.

Ángulos útiles en olimpiadas: para $\theta = 90°$, $R_{(0,0), 90°}(x, y) = (-y, x)$; para $\theta = 60°$, se usa $\cos 60° = 1/2$, $\sin 60° = \sqrt{3}/2$; para $\theta = 45°$, $\cos 45° = \sin 45° = \sqrt{2}/2$.

La rotación de $90°$ alrededor de $C = (c_1, c_2)$ lleva el punto $(x, y)$ al punto $(c_1 - (y - c_2),\; c_2 + (x - c_1))$. Esta fórmula es muy útil al construir cuadrados o ángulos rectos.

Rotación de 60° y triángulos equiláteros

La rotación de $60°$ aparece naturalmente en problemas con triángulos equiláteros. Si $\triangle ABC$ es equilátero y $A$ es el centro de la rotación de $60°$, entonces $R_{A,60°}(B) = C$ (o su reflejo, según la orientación).

Aplicación: Teorema de Napoleón. Construye triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo $\triangle PQR$; los centros de esos triángulos forman un triángulo equilátero. La demostración usa rotaciones de $60°$ alrededor de los centros de los triángulos equiláteros exteriores.

Técnica: para demostrar que tres puntos $X$, $Y$, $Z$ son vértices de un triángulo equilátero, basta mostrar que $R_{Y, 60°}(X) = Z$ (o $-60°$). Para demostrar que $|AB| = |CD|$ y que $AB \perp CD$, basta mostrar que $R_{O, 90°}(A - B) = C - D$ para algún punto $O$.

Traslaciones y rotaciones en problemas de máximo y mínimo

Una técnica clásica de olimpiadas: reducir un problema de mínimo de suma de distancias a un problema de camino mínimo mediante traslaciones o rotaciones.

Ejemplo: dados dos puntos $A$ y $B$ en el mismo lado de una recta $\ell$, halla el punto $P$ en $\ell$ que minimiza $PA + PB$. La solución clásica usa la reflexión (que veremos en la lección 7.2), pero también se puede ver como sigue: el punto $P$ óptimo es aquel en que el camino $A \to P \to B$ es una línea recta tras reflejar $A$ o $B$ sobre $\ell$.

Para problemas con ángulos rotados: si se pide el punto $P$ en un círculo $\omega$ que minimiza $PA + PB$ donde $A$ y $B$ son exteriores a $\omega$, se usa la propiedad de que la suma es mínima cuando $P$ está en el segmento $A'B$ con $A' = R_{O, \angle}(A)$ para el ángulo inscrito adecuado.

Regla nemotécnica: traslada para mover, rota para girar, y usa el camino recto para minimizar. En cuanto el problema pida la menor suma de longitudes que pasa por un punto variable, considera una transformación que "enderece" el camino.