Reflexiones y simetrías

Reflexión sobre una recta: definición y fórmulas

La reflexión (o simetría axial) sobre una recta $\ell$ es la isometría $S_\ell$ que fija cada punto de $\ell$ y lleva cada punto $P \notin \ell$ al punto $P'$ tal que $\ell$ es la mediatriz del segmento $PP'$.

Para la reflexión sobre el eje $x$ (recta $y = 0$): $S_{y=0}(x, y) = (x, -y)$.

Para la reflexión sobre el eje $y$ (recta $x = 0$): $S_{x=0}(x, y) = (-x, y)$.

Para la reflexión sobre la recta $y = x$: $S_{y=x}(x, y) = (y, x)$.

Fórmula general: para la reflexión sobre la recta $ax + by + c = 0$ (con $a^2 + b^2 = 1$), la imagen de $(x_0, y_0)$ es:

$(x_0 - 2a(ax_0 + by_0 + c),\; y_0 - 2b(ax_0 + by_0 + c)).$

La reflexión es su propia inversa: $S_\ell \circ S_\ell = \text{Id}$. Además, preserva distancias y ángulos, pero invierte la orientación (convierte configuraciones en sentido horario en configuraciones en sentido antihorario).

Simetría central y giro de 180°

La simetría central de centro $C$ es la isometría $H_C$ definida por $H_C(P) = 2C - P$. Es equivalente a la rotación de $180°$ alrededor de $C$.

Propiedades: (1) $H_C \ circ H_C = \text{Id}$ (es involutiva). (2) La composición de dos simetrías centrales de centros $C_1$ y $C_2$ es una traslación de vector $2\overrightarrow{C_1 C_2}$. (3) Preserva distancias y ángulos, y al ser una rotación de $180°$, preserva la orientación.

Aplicación: si $M$ es el punto medio de $AB$, entonces $H_M(A) = B$. Esto es la base de la demostración de que en un paralelogramo las diagonales se bisecan: si $M$ es el punto medio de $AC$, la simetría $H_M$ debe llevar $B$ a $D$ (y viceversa), lo que equivale a que $ABCD$ sea un paralelogramo.

El truco de la reflexión para caminos mínimos

El uso más poderoso de la reflexión en olimpiadas es la reducción de problemas de camino mínimo que pasa por una recta.

Problema clásico: Dados $A$ y $B$ al mismo lado de la recta $\ell$, halla el punto $P \in \ell$ que minimiza $PA + PB$.

Solución: Sea $A'$ la reflexión de $A$ sobre $\ell$. Para todo $P \in \ell$: $PA = PA'$ (por la isometría). Luego $PA + PB = PA' + PB \ge A'B$ (desigualdad triangular). La igualdad se alcanza cuando $P$ está en el segmento $A'B$, es decir, cuando $P$ es la intersección de $A'B$ con $\ell$.

Consecuencia: el ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión (ley de reflexión óptica) es exactamente la condición geométrica que caracteriza al punto $P$ óptimo.

Variante: si $A$ y $B$ están en lados opuestos de $\ell$, el mínimo de $PA + PB$ es simplemente $AB$ (el segmento cruza $\ell$), alcanzado en el punto de intersección. Si hay dos rectas $\ell_1$ y $\ell_2$, se aplica la reflexión dos veces.

Simetrías de figuras: ejes y centros

Un eje de simetría de una figura $\mathcal{F}$ es una recta $\ell$ tal que $S_\ell(\mathcal{F}) = \mathcal{F}$. Un centro de simetría es un punto $C$ tal que $H_C(\mathcal{F}) = \mathcal{F}$.

Figuras clásicas: el triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría (las mediatrices de sus lados, que coinciden con las alturas y bisectrices) y ningún centro de simetría. El cuadrado tiene 4 ejes y 1 centro (su centro geométrico). El rombo tiene 2 ejes (sus diagonales) y 1 centro. El rectángulo tiene 2 ejes (mediatrices de los lados) y 1 centro.

El polígono regular de $n$ lados tiene $n$ ejes de simetría (las bisectrices de los ángulos y las mediatrices de los lados, según $n$ sea par o impar) y 1 centro de simetría (para $n$ par) o ninguno (para $n$ impar).

En problemas olímpicos, identificar la simetría de la configuración permite reducir el problema a la mitad: si la condición es simétrica respecto a una recta y la solución es única, entonces la solución debe estar sobre esa recta.