Composición de transformaciones

Clasificación de las isometrías del plano

Una isometría del plano es una función $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ que preserva distancias: $|f(P) - f(Q)| = |P - Q|$ para todo $P, Q$.

Teorema de clasificación: toda isometría del plano es exactamente uno de los cuatro tipos siguientes: (1) Traslación (incluyendo la identidad). (2) Rotación (ángulo $\theta \neq 0°, 360°$, con centro fijo). (3) Reflexión (sobre una recta). (4) Deslizamiento o reflexión con traslación (composición de una reflexión sobre $\ell$ y una traslación paralela a $\ell$).

Las isometrías que preservan la orientación (traslaciones y rotaciones) se llaman isometrías directas o movimientos rígidos propios. Las que invierten la orientación (reflexiones y deslizamientos) se llaman isometrías inversas o impropias.

Toda isometría es composición de a lo sumo tres reflexiones. Esta afirmación, aunque sorprendente, es la clave para demostrar el teorema de clasificación.

Composición de dos reflexiones

La composición de dos reflexiones tiene un resultado que depende de la relación entre las rectas:

Caso 1 — Rectas paralelas: Si $\ell_1 \parallel \ell_2$ y la distancia entre ellas es $d$, entonces $S_{\ell_2} \circ S_{\ell_1}$ es una traslación de vector $2d$ en la dirección perpendicular a las rectas (de $\ell_1$ hacia $\ell_2$).

Caso 2 — Rectas que se cortan: Si $\ell_1$ y $\ell_2$ se cortan en el punto $C$ formando un ángulo $\alpha$ (medido de $\ell_1$ a $\ell_2$), entonces $S_{\ell_2} \circ S_{\ell_1}$ es una rotación de ángulo $2\alpha$ con centro $C$.

Estos dos casos son exhaustivos. La composición de dos reflexiones es siempre una isometría directa (traslación o rotación). En particular, la composición de tres reflexiones es siempre una isometría inversa (reflexión o deslizamiento).

Puntos fijos y determinación de la isometría

Para determinar qué tipo de isometría es una composición, el método más práctico en olimpiadas es buscar los puntos fijos:

(a) Una isometría con exactamente un punto fijo es una rotación (el fijo es el centro).

(b) Una isometría cuyos puntos fijos forman una recta es una reflexión (la recta de fijos es el eje).

(c) Una isometría sin puntos fijos es una traslación o un deslizamiento.

Ejemplo: determina la composición $T = R_{O, 90°} \circ S_{y=x}$ donde $O = (0,0)$. Calculamos sobre $P = (x, y)$: $S_{y=x}(x,y) = (y,x)$ y luego $R_{O,90°}(y,x) = (-x, y)$. Así $T(x,y) = (-x, y)$, que es la reflexión sobre el eje $y$ (ya que $T(-x, y) = (x, y)$ confirma que los puntos de la forma $(0, y)$ son fijos). Tipo: reflexión sobre el eje $y$.

Aplicación: demostración de concurrencia y puntos notables

Las transformaciones permiten demostrar elegantemente propiedades de concurrencia. Ejemplo: las medianas de un triángulo concurren en un punto (el baricentro $G$) que divide a cada mediana en razón $2:1$.

Prueba usando simetría central: sea $M_{AB}$ el punto medio de $AB$ y $M_{BC}$ el punto medio de $BC$. La simetría central $H_{M_{AB}}$ lleva $A \to B$ y la simetría central $H_{M_{BC}}$ lleva $B \to C$. La composición $H_{M_{BC}} \circ H_{M_{AB}}$ es una traslación de vector $2\overrightarrow{M_{AB}M_{BC}} = \overrightarrow{AC}$ (por las propiedades de la composición de simetrías centrales). Esto da una relación entre los puntos medios que, junto con la razón $2:1$, confirma la concurrencia.

Ejemplo adicional: Teorema de los puntos medios (Varignon). Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero forman un paralelogramo. Prueba: las mediatrices consecutivas de los lados del cuadrilátero, junto con las traslaciones de mitad de vector, muestran que los lados opuestos del cuadrilátero de Varignon son paralelos e iguales.

Principio general: cuando un problema pide demostrar que ciertos puntos son colineales, concurrentes o equidistantes, busca una isometría que mapee un punto al otro. Si tal isometría existe y es única, la propiedad queda demostrada.