Eje radical: locus de potencias iguales

La pregunta que define el eje radical

Dadas dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ en el plano, es natural preguntarse: ¿existe algún punto $P$ tal que su potencia respecto de $\omega_1$ sea igual a su potencia respecto de $\omega_2$? Y si existe, ¿cómo es el conjunto de todos esos puntos?

La respuesta, que puede sorprender a primera vista, es que ese conjunto es siempre una recta, y además una recta perpendicular a la línea que une los centros de las dos circunferencias. Esta recta se llama el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$, y es uno de los objetos más elegantes de la geometría euclidiana plana.

Antes de demostrar esto, notemos por qué tiene sentido esperar que el locus sea una recta. La condición $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$ es una ecuación del tipo "diferencia de dos expresiones cuadráticas en las coordenadas de $P$ es igual a cero". La diferencia de dos formas cuadráticas que tienen el mismo coeficiente cuadrático es lineal, y una ecuación lineal en dos variables define una recta. Este argumento algebraico nos da la recta; la geometría nos dice que es perpendicular a $O_1O_2$.

El eje radical tiene una interpretación física hermosa: si imaginamos que $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos fuentes de "campo de potencia" (cada una genera un campo escalar $|PO_i|^2 - r_i^2$), el eje radical es la línea de equilibrio donde ambos campos se cancelan. Aunque esta analogía es informal, ayuda a internalizar por qué el eje radical se comporta como lo hace.

Demostración algebraica y geométrica

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ circunferencias con centros $O_1 = (a, 0)$ y $O_2 = (b, 0)$ sobre el eje $x$ (podemos orientar el sistema de coordenadas así sin perder generalidad), y radios $r_1$ y $r_2$. Para un punto $P = (x, y)$:

$$\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = (x - a)^2 + y^2 - r_1^2$$

$$\operatorname{pow}_{\omega_2}(P) = (x - b)^2 + y^2 - r_2^2$$

La condición del eje radical es $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$, es decir:

$$(x-a)^2 - r_1^2 = (x-b)^2 - r_2^2$$

Expandiendo: $x^2 - 2ax + a^2 - r_1^2 = x^2 - 2bx + b^2 - r_2^2$. Los términos $x^2$ se cancelan y obtenemos la ecuación lineal:

$$2(b - a)x = b^2 - a^2 - r_2^2 + r_1^2 = (b-a)(b+a) + r_1^2 - r_2^2$$

Si $a \ne b$ (los centros son distintos, que es el caso no trivial), podemos dividir por $2(b-a)$:

$$x = \frac{a + b}{2} + \frac{r_1^2 - r_2^2}{2(b-a)}$$

Esta es una ecuación de la forma $x = c$ (una constante), que define una recta vertical, es decir, perpendicular al eje $x$ que es la línea $O_1O_2$. Geométricamente: el eje radical es siempre perpendicular a $O_1O_2$.

Casos especiales: secantes, tangentes y circunferencias exteriores

Caso 1: circunferencias secantes. Si $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en dos puntos $A$ y $B$, ambos puntos tienen potencia cero respecto de $\omega_1$ (porque están en $\omega_1$) y potencia cero respecto de $\omega_2$ (porque están en $\omega_2$). Por lo tanto $\operatorname{pow}_{\omega_1}(A) = 0 = \operatorname{pow}_{\omega_2}(A)$, así $A$ está en el eje radical. Análogamente $B$. Conclusión: el eje radical de dos circunferencias secantes es la recta que pasa por sus dos puntos de intersección.

Caso 2: circunferencias tangentes. Si $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes en un punto $T$ (internamente o externamente), el único punto con potencia cero en ambas es $T$. El eje radical pasa por $T$ y es perpendicular a $O_1O_2$. En el caso de tangencia externa, el eje radical es la tangente común en $T$. En el caso de tangencia interna, también es la tangente común en el punto de tangencia.

Caso 3: circunferencias exteriores (sin intersección). Si $\omega_1$ y $\omega_2$ no se intersectan, el eje radical es la recta perpendicular a $O_1O_2$ que pasa por el punto calculado con la fórmula anterior. Este eje radical no corta a ninguna de las dos circunferencias, y sin embargo sigue siendo el locus de puntos con igual potencia. Tiene especial importancia en el teorema del centro radical con tres circunferencias.

Ejemplo concreto. Sean $\omega_1$: centro $(0,0)$, radio $3$; y $\omega_2$: centro $(5, 0)$, radio $2$. El eje radical satisface: $x = \frac{0+5}{2} + \frac{9 - 4}{2 \cdot 5} = 2{,}5 + 0{,}5 = 3$. Verificación: para $P = (3, y)$, $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = 9 + y^2 - 9 = y^2$ y $\operatorname{pow}_{\omega_2}(P) = 4 + y^2 - 4 = y^2$. Efectivamente son iguales.

Propiedades del eje radical y aplicaciones directas

Una propiedad útil del eje radical es que desde cualquier punto $P$ sobre él, las longitudes de las tangentes a $\omega_1$ y a $\omega_2$ son iguales. Esto se desprende directamente de la definición: $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$, y como $PT_i = \sqrt{\operatorname{pow}_{\omega_i}(P)}$ (longitud de tangente desde $P$ a $\omega_i$), se tiene $PT_1 = PT_2$.

Esta propiedad permite una construcción hermosa: dado un punto $P$ sobre el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$, podemos trazar un **círculo centrado en $P$** que sea ortogonal a ambas circunferencias simultáneamente. (Una circunferencia es ortogonal a $\omega_i$ si y solo si su radio es la longitud de la tangente desde su centro a $\omega_i$). El radio de esta circunferencia sería $PT_1 = PT_2 = \sqrt{\operatorname{pow}_{\omega_1}(P)}$.

Problema de Iberoamericana 2005 (adaptado). Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias con eje radical $\ell$. Una recta $m$ corta a $\omega_1$ en $A$ y $B$, y corta a $\omega_2$ en $C$ y $D$. Sea $P = m \cap \ell$. Demuestra que $PA \cdot PB = PC \cdot PD$. Solución: como $P$ está en el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$, tenemos $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(P)$. Por la configuración de potencia de punto exterior (o interior), $\operatorname{pow}_{\omega_1}(P) = PA \cdot PB$ y $\operatorname{pow}_{\omega_2}(P) = PC \cdot PD$ (con signos apropiados si $P$ fuera interior). Por lo tanto $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.

Este resultado tiene un corolario elegante: si $P$ es exterior a ambas circunferencias, la longitud de la tangente desde $P$ a $\omega_1$ es igual a la longitud de la tangente desde $P$ a $\omega_2$. Si $P$ es interior a ambas, los productos $PA \cdot PB$ y $PC \cdot PD$ son iguales (los dos "rayos" de cada cuerda se equilibran exactamente en el eje radical).

El eje radical como herramienta de concurrencia

Una de las aplicaciones más potentes del eje radical en olimpiadas es demostrar que tres rectas son concurrentes. La estrategia es la siguiente: si tenemos tres rectas que son ejes radicales de tres pares de circunferencias, entonces esas tres rectas concurren en el centro radical (lo veremos en detalle en la siguiente lección). Pero incluso con solo dos circunferencias y su eje radical, podemos demostrar concurrencias notables.

Estrategia de "punto en el eje radical". Para demostrar que tres rectas concurren en un punto $X$, a veces conviene construir dos circunferencias tales que el eje radical pase por $X$, y luego mostrar que las tres rectas en cuestión contienen todas el mismo eje radical o todos pasan por el mismo centro radical.

Problema de Cono Sur 2009. Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia $\omega_A$ tiene centro en $A$ y radio $0$ (un punto). La circunferencia $\omega_B$ tiene centro en $B$ y radio $0$. El eje radical de $\omega_A$ y $\omega_B$ es simplemente la mediatriz del segmento $AB$, pues la potencia de $P$ respecto de $\omega_A$ es $PA^2$ y respecto de $\omega_B$ es $PB^2$, e igualarlas da $PA = PB$. Las tres mediatrices de $AB$, $BC$, $CA$ son los tres ejes radicales de los tres pares de "circunferencias puntuales" centradas en $A$, $B$, $C$, y por el teorema del centro radical concurren en el circuncentro. Esto es en realidad una demostración por eje radical de que las mediatrices de un triángulo concurren.

El eje radical une así la geometría métrica (longitudes de tangentes, potencias) con la geometría proyectiva (concurrencias de rectas). En la siguiente lección extendemos este puente al caso de tres o más circunferencias, donde el centro radical emerge como el punto triple de equilibrio.