Centro radical y aplicaciones olímpicas

Del eje radical al centro radical

En la lección anterior vimos que dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ determinan un eje radical: la recta formada por todos los puntos con igual potencia respecto de ambas circunferencias. Cuando agregamos una tercera circunferencia $\omega_3$, obtenemos tres pares de circunferencias: $\{\omega_1, \omega_2\}$, $\{\omega_2, \omega_3\}$ y $\{\omega_1, \omega_3\}$. Cada par tiene su propio eje radical. La pregunta natural es: ¿tienen algo en común estos tres ejes radicales?

La respuesta es una de las joyas de la geometría elemental: los tres ejes radicales de tres circunferencias en posición general concurren en un único punto, llamado el centro radical del trío. La demostración es elegante y corta, y la veremos en breve. Lo notable es que este resultado vale independientemente de las posiciones relativas de las tres circunferencias: no importa si se intersectan, si son disjuntas, o cualquier combinación.

El centro radical tiene una interpretación concreta en términos de tangentes: es el único punto del plano desde el cual las tangentes a las tres circunferencias tienen la misma longitud. Si llamamos $\ell_i$ a la longitud de la tangente desde el centro radical $K$ a $\omega_i$, entonces $\ell_1 = \ell_2 = \ell_3$. Esto hace que el centro radical sea el centro de una circunferencia (llamada "circunferencia radical") que es ortogonal a las tres circunferencias dadas simultáneamente.

En competencia, el centro radical es principalmente una herramienta para demostrar concurrencias. Cada vez que tenemos tres circunferencias y queremos mostrar que ciertas tres rectas concurren, una estrategia muy eficaz es identificar esas rectas como los ejes radicales de los pares de circunferencias y concluir por el teorema del centro radical.

Teorema del centro radical: existencia y unicidad

Teorema. Sean $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tres circunferencias cuyos centros no son colineales. Los tres ejes radicales $\ell_{12}$ (de $\omega_1$ y $\omega_2$), $\ell_{23}$ (de $\omega_2$ y $\omega_3$) y $\ell_{13}$ (de $\omega_1$ y $\omega_3$) concurren en un único punto $K$.

Demostración. Los ejes $\ell_{12}$ y $\ell_{23}$ son rectas distintas (veremos por qué en un momento) y por tanto se cortan en exactamente un punto, que llamamos $K$. Como $K \in \ell_{12}$, tenemos $\operatorname{pow}_{\omega_1}(K) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(K)$. Como $K \in \ell_{23}$, tenemos $\operatorname{pow}_{\omega_2}(K) = \operatorname{pow}_{\omega_3}(K)$. Por transitividad, $\operatorname{pow}_{\omega_1}(K) = \operatorname{pow}_{\omega_3}(K)$, lo que significa que $K$ pertenece al eje radical $\ell_{13}$. Los tres ejes pasan por $K$.

¿Por qué $\ell_{12}$ y $\ell_{23}$ no son paralelas (o coincidentes)? Porque $\ell_{12}$ es perpendicular a $O_1O_2$ y $\ell_{23}$ es perpendicular a $O_2O_3$. Si $\ell_{12} \parallel \ell_{23}$, entonces $O_1O_2 \parallel O_2O_3$, lo que significa que $O_1$, $O_2$, $O_3$ son colineales. Pero excluimos ese caso por hipótesis. Si $\ell_{12}$ y $\ell_{23}$ son la misma recta, entonces $O_1O_2$ y $O_2O_3$ son paralelas y perpendiculares a la misma recta, lo que nuevamente implica colinealidad de centros.

Unicidad. El punto $K$ es único porque es la intersección de dos rectas determinadas ($\ell_{12}$ y $\ell_{23}$). El hecho de que $K$ también esté en $\ell_{13}$ no es una coincidencia sino una consecuencia algebraica de la transitividad de la igualdad de potencias.

Construcción del centro radical y casos especiales

Construcción práctica. Para hallar el centro radical de $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, basta calcular dos de los tres ejes radicales y encontrar su intersección. No es necesario calcular el tercero (aunque sirve como verificación). El eje radical de $\omega_i$ y $\omega_j$ se obtiene con la fórmula derivada en la lección anterior: si las circunferencias tienen ecuaciones $x^2 + y^2 + D_i x + E_i y + F_i = 0$ (forma general), el eje radical de $\omega_i$ y $\omega_j$ es la recta $(D_i - D_j)x + (E_i - E_j)y + (F_i - F_j) = 0$. El centro radical es la solución del sistema de dos de estas ecuaciones lineales.

Caso especial: tres circunferencias secantes dos a dos. Si $\omega_1 \cap \omega_2 = \{A, B\}$, $\omega_2 \cap \omega_3 = \{C, D\}$ y $\omega_1 \cap \omega_3 = \{E, F\}$, entonces los ejes radicales son las rectas $AB$, $CD$, $EF$. El teorema del centro radical nos dice que las rectas $AB$, $CD$, $EF$ concurren. Este es un resultado de concurrencia que no tiene una demostración evidente directa: la concurrencia se prueba sin ningún cálculo, simplemente invocando el centro radical.

Caso especial: tres circunferencias mutualmente tangentes. Si $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ son tangentes dos a dos en los puntos $T_{12}$, $T_{23}$, $T_{13}$, entonces los ejes radicales son las tangentes comunes en esos puntos, y el centro radical es la intersección de las tres tangentes comunes. Este es el caso que aparece en la configuración de Soddy (cuatro círculos mutuamente tangentes) y en el teorema de Descartes.

Caso especial: tres circunferencias con un punto común. Si $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ pasan todas por un mismo punto $P$, entonces $P$ tiene potencia cero respecto de las tres circunferencias. Por lo tanto $P$ es el centro radical. En este caso los tres ejes radicales todos pasan por $P$, que es justamente el centro radical.

Problemas olímpicos: el centro radical en acción

Problema 1 (Iberoamericana 2012, Problema 1). Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ las circunferencias con diámetros $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Demuestra que los ejes radicales de los tres pares de estas circunferencias se cortan en el ortocentro $H$ del triángulo. Solución: el eje radical de $\omega_B$ (diámetro $CA$) y $\omega_C$ (diámetro $AB$) es el lugar de los puntos $P$ con $\operatorname{pow}_{\omega_B}(P) = \operatorname{pow}_{\omega_C}(P)$. Un punto $P$ tiene potencia nula respecto de $\omega_B$ si y solo si el ángulo $\angle CPA = 90°$ (ángulo inscrito en semicírculo de diámetro $CA$). El pie de la altura desde $B$, que llamamos $H_B$, está en $\omega_A$ y en $\omega_C$ y en la recta $BH$. El ortocentro $H$ satisface $\angle BHA_1 = 90°$ y $\angle CHA_2 = 90°$ para los pies apropiados, lo que lo pone en los ejes radicales. Un cálculo coordinado o la verificación directa de las tres potencias confirma que $H$ es el centro radical.

Problema 2 (Cono Sur 2017, Geometría). Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en $\omega$. Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ son tales que $\omega_1$ pasa por $A$ y $B$ y $\omega_2$ pasa por $C$ y $D$. Sea $P = AC \cap BD$ y $Q = AD \cap BC$. Sea $\ell$ el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$. Demuestra que $P$, $Q$ y el centro radical de $\omega$, $\omega_1$, $\omega_2$ son colineales. La solución usa que el eje radical de $\omega$ y $\omega_1$ pasa por los puntos de intersección $A$ y $B$, es decir, es la recta $AB$. Análogamente el eje radical de $\omega$ y $\omega_2$ es la recta $CD$. El centro radical de los tres círculos es $AB \cap CD$. Y en el cuadrilátero $ABCD$ inscrito, los puntos $P = AC \cap BD$, $Q = AD \cap BC$ y $R = AB \cap CD$ son los tres vértices del triángulo diagonal del cuadrilátero, que son conocidos por ser colineales respecto a la polar de ciertos puntos. La colinealidad de $P$, $Q$, $R$ es en realidad el teorema de la polar del cuadrilátero inscrito.

Problema 3 (IMO 1995, Problema 1). Sea $A$, $B$, $C$, $D$ cuatro puntos distintos y colineales en este orden. Las circunferencias con diámetros $AC$ y $BD$ se intersectan en $X$ e $Y$. La recta $XY$ corta a $BC$ en $Z$. Sea $P$ el punto en $XY$ tal que $ZP$ sea perpendicular a $XY$... El eje radical de las dos circunferencias es la recta $XY$, y el centro $Z$ relaciona la potencia de $Z$ con ambas circunferencias: $\operatorname{pow}_{\omega_1}(Z) = \operatorname{pow}_{\omega_2}(Z)$ porque $Z$ está en el eje radical. La fuerza de la potencia de un punto permite calcular posiciones relativas que de otro modo serían un sistema de ecuaciones difícil.

Técnica avanzada: construcción de circunferencias auxiliares

En los problemas más difíciles del Cono Sur e Iberoamericana, el centro radical no está visible directamente: hay que construir las tres circunferencias apropiadas para que su centro radical sea el punto de concurrencia que queremos demostrar. Esta es la parte creativa del método.

Estrategia. Supongamos que queremos demostrar que tres rectas $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ son concurrentes. Si podemos encontrar tres circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ tales que $\ell_{ij}$ (el eje radical de $\omega_i$ y $\omega_j$) sea precisamente la recta $\ell_k$ (con $\{i, j, k\} = \{1, 2, 3\}$), entonces la concurrencia de $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ se sigue del teorema del centro radical.

Ejemplo de construcción auxiliar. En el triángulo $ABC$, sea $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro. Queremos demostrar que las mediatrices de $AH$, $BH$, $CH$ concurren. Consideremos las circunferencias $\omega_A$ centrada en $A$ con radio $AH$, $\omega_B$ centrada en $B$ con radio $BH$, y $\omega_B$ centrada en $C$ con radio $CH$. El eje radical de $\omega_A$ y $\omega_B$ es el locus de los puntos $P$ con $PA^2 - AH^2 = PB^2 - BH^2$, es decir $PA^2 - PB^2 = AH^2 - BH^2$, que es la mediatriz de $AB$ desplazada. Con las identidades adecuadas para $AH$ y $BH$ en términos de $R$ y los ángulos, los tres ejes radicales resultan ser las mediatrices de $AH$, $BH$, $CH$, que por el teorema del centro radical concurren.

Conexión con la circunferencia de los nueve puntos. La circunferencia de los nueve puntos de un triángulo $ABC$ es ortogonal a las tres circunferencias excrítas del triángulo. Esto significa que su centro es el centro radical de las tres exinscritas. Este es uno de los resultados más profundos de la geometría del triángulo, y su demostración por centro radical es quizás la más elegante y corta que existe.

El dominio del centro radical, junto con las configuraciones de potencia de un punto y el eje radical, completa el arsenal básico para enfrentar los problemas de geometría del Cono Sur y la Iberoamericana. Las lecciones siguientes expandirán este arsenal con la inversión y las circunferencias especiales del triángulo.