Definición y propiedades fundamentales de la inversión

El problema que motiva la inversión

Imagina cuatro circunferencias mutualmente tangentes: la primera es muy grande (casi una recta), y las otras tres están encajadas entre sí, todas tangentes entre sí y a la primera. ¿Cuál es la relación entre sus radios? Este tipo de configuración, llamada configuración de Soddy o Apolonio, parece intratable con las herramientas que hemos visto. Ángulos, potencia de un punto, centro radical… nada simplifica directamente una maraña de cuatro círculos mutuamente tangentes.

La inversión es la transformación que corta este nudo. En esencia, invierte la inversión convierte círculos tangentes en rectas paralelas, transforma configuraciones complicadas en figuras elementales, y permite exportar el resultado de vuelta al plano original. Es la herramienta quirúrgica de la geometría olímpica avanzada.

En el Capítulo 1 dominamos la potencia de un punto: una cantidad escalar asociada a un par (punto, circunferencia). La inversión da un paso más: es una transformación del plano que tiene la potencia inscrita en su definición misma. Todo lo que aprendimos sobre potencia, ejes radicales y centros radicales se vuelve más poderoso una vez que conocemos la inversión.

Definición formal de la inversión

Sea $O$ un punto del plano (el centro de inversión) y $r > 0$ un número real (el radio de inversión). La inversión $\iota$ con centro $O$ y radio $r$ es la transformación que lleva cada punto $P \ne O$ al punto $P'$ sobre la semirrecta $OP$, a distancia:

En símbolos: $P' = \iota(P)$ es el único punto sobre el rayo $\overrightarrow{OP}$ tal que $OP \cdot OP' = r^2$.

Observemos de inmediato varias consecuencias de la definición:

(1) Si $P$ está sobre la circunferencia $\omega$ de centro $O$ y radio $r$ (la circunferencia de inversión), entonces $OP = r$ y $OP' = r$, es decir $P' = P$: los puntos de $\omega$ son puntos fijos de la inversión.

(2) Si $P$ está fuera de $\omega$ (es decir $OP > r$), entonces $OP' = r^2 / OP < r$, así $P'$ está dentro de $\omega$. La inversión intercambia interior y exterior de $\omega$.

(3) El punto $O$ no tiene imagen bajo la inversión. Convencionalmente se dice que $O$ va "al infinito" y que el punto del infinito va a $O$.

Fórmula cartesiana de la inversión

Tomemos $O$ como el origen de coordenadas. Si $P = (x, y)$, entonces $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $P'$ está en la dirección de $(x, y)$ a distancia $r^2 / OP$ del origen. Por lo tanto:

Verificación: $OP' = \left| \frac{r^2}{x^2 + y^2} (x, y) \right| = \frac{r^2}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r^2}{OP}$. Y $OP \cdot OP' = OP \cdot \frac{r^2}{OP} = r^2$. Correcto.

La fórmula cartesiana es útil para cálculos algebraicos, pero la definición geométrica (la razón $OP \cdot OP' = r^2$) es la que se usa en las demostraciones olímpicas.

Observación sobre el radio. En muchos problemas de competencia se elige $r$ por conveniencia, no porque el problema especifique un radio. En particular, si el centro $O$ es un punto de tangencia entre dos círculos, a menudo se elige $r$ igual al radio de uno de ellos, o $r = 1$ si las longitudes concretas no importan. Lo que importa es la estructura topológica de lo que se transforma, no el valor de $r$.

La inversión es una involución

Propiedad fundamental. Si $P' = \iota(P)$, entonces $\iota(P') = P$. Es decir, aplicar la inversión dos veces devuelve al punto original: $\iota \circ \iota = \mathrm{id}$ (la identidad). En terminología algebraica, la inversión es una involución.

Demostración. Sea $P' = \iota(P)$, así $OP \cdot OP' = r^2$. Ahora apliquemos $\iota$ a $P'$: obtenemos el punto $P''$ sobre el rayo $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP}$ (misma semirrecta, ya que $P'$ está en el mismo lado de $O$ que $P$) a distancia $OP'' = r^2 / OP' = r^2 / (r^2 / OP) = OP$. Por lo tanto $P'' = P$.

Esta propiedad de involución es extraordinariamente conveniente: si transformamos una configuración compleja mediante $\iota$, obtenemos una configuración más simple (esperamos), demostramos lo que queremos en la configuración simple, y luego aplicamos $\iota$ de nuevo para regresar. No necesitamos "deshacer" la transformación con una fórmula diferente: basta con aplicar la misma inversión otra vez.

Consecuencia. Si $\iota(P) = P'$ e $\iota(Q) = Q'$, entonces también $\iota(P') = P$ e $\iota(Q') = Q$. El mapa entre $(P, Q)$ y $(P', Q')$ es biyectivo. En particular, las propiedades que se preservan bajo $\iota$ son las mismas que se preservan bajo $\iota^{-1} = \iota$.

La inversión preserva ángulos (es conforme)

Una propiedad crucial de la inversión es que es conforme: preserva los ángulos entre curvas (aunque invierte la orientación). Más precisamente, si dos curvas se intersectan en un punto $P \ne O$ formando un ángulo $\alpha$ entre ellas, sus imágenes bajo $\iota$ se intersectan en $P'$ formando el mismo ángulo $\alpha$ (con orientación opuesta).

Demostración para rectas. Consideremos dos semirrectas $OA$ y $OB$ desde $O$ formando un ángulo $\theta$. Sus imágenes son las mismas semirrectas (la inversión preserva las semirrectas desde $O$), así el ángulo entre ellas es $\theta$. Para dos curvas genéricas que se intersectan en $P$, el ángulo se mide entre las tangentes en $P$; la conformidad de la inversión se verifica diferenciando la fórmula cartesiana.

**Caso excepcional en $O$.** La inversión no es conforme en $O$ porque $O$ no tiene imagen. Cuando una curva pasa por $O$, su imagen no es una curva que pase por $O$ en general (sino una curva que "viene del infinito"). Esto hay que tenerlo en cuenta: si el centro de inversión está en la intersección de las curvas que estudiamos, los ángulos en ese punto no se preservan de la manera habitual.

Por qué importa la conformidad. Muchos problemas olímpicos se reducen a demostrar que ciertos ángulos son iguales (persecución de ángulos). Si la configuración se simplifica mediante inversión, podemos demostrar la igualdad de ángulos en la imagen y concluir que se preserva en el original. Esto conecta la inversión directamente con las técnicas de persecución de ángulos que ya conocemos.

Relación de distancias bajo inversión

Si $P' = \iota(P)$ y $Q' = \iota(Q)$ (con $P, Q \ne O$), ¿cuál es la distancia $P'Q'$ en función de $PQ$, $OP$, $OQ$?

Consideremos los triángulos $\triangle OPQ$ y $\triangle OQ'P'$. Tenemos $OP \cdot OP' = r^2$ y $OQ \cdot OQ' = r^2$, luego $OP/OQ' = OQ/OP'$. Además, los ángulos $\angle POQ = \angle Q'OP'$ son el mismo ángulo (o su suplemento, dependiendo de la configuración). Por el criterio LAL, los triángulos $\triangle OPQ$ y $\triangle OQ'P'$ son semejantes. La razón de semejanza es $OP / OQ' = OQ/OP' = OP \cdot OQ / r^2$. Por tanto:

Esta fórmula es extremadamente útil en cálculos con inversión. Si $OP = OP' = r$ (ambos puntos en la circunferencia de inversión), entonces $P'Q' = PQ \cdot r^2 / (OP \cdot OQ) = PQ \cdot r^2 / (r \cdot r) = PQ$: la inversión preserva distancias en la circunferencia de inversión.

La fórmula también muestra que la inversión no es una isometría: en general distorsiona distancias. Sin embargo, la razón cruzada de cuatro puntos (una cantidad proyectiva) sí se preserva. Esta conexión con la geometría proyectiva hace de la inversión una herramienta puente entre la geometría euclidiana y la proyectiva.

Síntesis: qué recordar de la inversión básica

Los cuatro hechos esenciales de esta lección son:

(1) Definición: $\iota(P) = P'$ sobre el rayo $\overrightarrow{OP}$ con $OP \cdot OP' = r^2$. La circunferencia de inversión es el conjunto de puntos fijos.

(2) Involución: $\iota(\iota(P)) = P$. Se puede "deshacer" la inversión aplicándola de nuevo.

(3) Conformidad: la inversión preserva los ángulos en todos los puntos distintos de $O$.

(4) Fórmula de distancias: $P'Q' = r^2 \cdot PQ \, / \, (OP \cdot OQ)$. Combina con la semejanza de triángulos.

En la siguiente lección usamos estos cuatro hechos para determinar exactamente qué le pasa a cada tipo de figura geométrica (rectas y circunferencias) bajo la inversión. Esa es la herramienta operativa que se usa directamente en los problemas olímpicos.