Inversión de rectas y circunferencias

El catálogo de transformaciones: cuatro casos

En el plano euclidiano, los objetos geométricos que aparecen en casi todos los problemas son rectas y circunferencias. La inversión transforma unos en otros siguiendo exactamente cuatro reglas, que vamos a demostrar una por una. La intuición detrás de estas reglas es la siguiente: la inversión "envía el infinito a $O$". Una recta que pasa por $O$ "toca el infinito en $O$" (en ambas direcciones), así su imagen también debe pasar por $O$ — y en efecto es la misma recta. Una recta que no pasa por $O$ "toca el infinito lejos de $O$", así su imagen debe pasar por $O$ — es un círculo por $O$. Y viceversa.

Para los cuatro casos a continuación, fijamos el centro de inversión $O$ y el radio $r$.

Caso 1: recta que pasa por O

Enunciado. Sea $\ell$ una recta que pasa por $O$. Entonces $\iota(\ell \setminus \{O\}) = \ell \setminus \{O\}$. Es decir, la inversión lleva la recta en sí misma (excluyendo el centro $O$).

Demostración. Por definición, $\iota(P)$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$. Si $P$ está en $\ell$, el rayo $\overrightarrow{OP}$ también está contenido en $\ell$, luego $\iota(P) \in \ell$. Cualquier punto $Q \in \ell$, $Q \ne O$, es imagen del punto $Q' \in \ell$ con $OQ \cdot OQ' = r^2$, es decir $Q' = \iota(Q)$. Por tanto la imagen de $\ell$ es $\ell$.

Interpretación. La inversión permuta los puntos sobre una recta por $O$: si $OP = d$, el punto a distancia $d$ se mueve al punto a distancia $r^2/d$. Los puntos a distancia $r$ de $O$ son fijos. Los puntos muy lejanos (grandes $d$) mapean a puntos muy cercanos a $O$ (pequeño $r^2/d$).

Caso 2: recta que no pasa por O

Enunciado. Sea $\ell$ una recta que no pasa por $O$. Entonces $\iota(\ell)$ es una circunferencia que pasa por $O$. Recíprocamente, cualquier circunferencia que pase por $O$ es la imagen de una recta que no pasa por $O$.

Demostración. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $O$ a $\ell$, con $OH = d > 0$. Sea $P \in \ell$ un punto arbitrario, con $OP = \rho$. El punto $P' = \iota(P)$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$ con $OP' = r^2/\rho$. Para encontrar el lugar geométrico de $P'$: sea $H' = \iota(H)$, así $OH' = r^2/d$. El ángulo $\angle OHP = 90°$ (ya que $OH \perp \ell$). En el triángulo $OHP$ tenemos $OH/OP = OH/OP$; en el triángulo $OP'H'$ tenemos $OH'/OP' = (r^2/d)/(r^2/\rho) = \rho/d = OP/OH$. Luego los triángulos $\triangle OHP$ y $\triangle OP'H'$ son semejantes (razones inversas), con $\angle POH$ común. Por lo tanto $\angle OH'P' = \angle OHP = 90°$.

El punto $P'$ satisface $\angle OH'P' = 90°$ para todo $P \in \ell$. Esto significa que $P'$ siempre ve al segmento $OH'$ con ángulo de $90°$, es decir, $P'$ está en la circunferencia de diámetro $OH'$. Esta circunferencia pasa por $O$ y por $H'$.

Caso 3: circunferencia que pasa por O

Enunciado. Sea $\omega$ una circunferencia que pasa por $O$. Entonces $\iota(\omega \setminus \{O\})$ es una recta que no pasa por $O$.

Demostración. Por el Caso 2 y la propiedad de involución: si $\iota(\ell) = \omega$ (con $\ell$ recta sin $O$ y $\omega$ circunferencia por $O$), entonces $\iota(\omega) = \iota(\iota(\ell)) = \ell$. El Caso 3 es el recíproco exacto del Caso 2, demostrado automáticamente por la naturaleza de involución.

Construcción explícita. Sea $\omega$ de radio $\rho_0$ pasando por $O$, con centro $C$. Para encontrar la recta imagen, basta con tomar dos puntos de $\omega$ distintos de $O$, calcular sus imágenes bajo $\iota$, y trazar la recta que los une. Por el argumento anterior, todos los demás puntos imagen también estarán en esa recta.

Ejemplo numérico. Inversión con $O = (0,0)$ y $r = 2$. Sea $\omega$: circunferencia de centro $(1, 0)$ y radio $1$, que pasa por el origen. Sus puntos satisfacen $(x-1)^2 + y^2 = 1$, es decir $x^2 + y^2 = 2x$. Si $P = (x, y) \in \omega$, entonces $P' = \frac{4}{x^2+y^2}(x, y) = \frac{4}{2x}(x, y) = \frac{2}{x}(x, y) = (2, 2y/x)$. Así $P'_x = 2$ para todo $P \in \omega$: la imagen es la recta vertical $x = 2$.

Caso 4: circunferencia que no pasa por O

Enunciado. Sea $\omega$ una circunferencia que no pasa por $O$. Entonces $\iota(\omega)$ es una circunferencia que tampoco pasa por $O$.

Demostración. Sea $\omega$ de centro $C$ y radio $\rho$. Los puntos de $\omega$ se escriben como $P = C + \rho(\cos\theta, \sin\theta)$ para $\theta \in [0, 2\pi)$. Aplicando la fórmula cartesiana de $\iota$ con $O$ en el origen:

$P' = \frac{r^2}{|P|^2} P$.

Denotemos $|P|^2 = P \cdot P$. La condición $|P - C|^2 = \rho^2$ se expande como $|P|^2 - 2P \cdot C + |C|^2 = \rho^2$, es decir $|P|^2 = 2P \cdot C - |C|^2 + \rho^2$. Entonces $P' = r^2 P / |P|^2$. Despejando $P = r^2 P' / |P'|^2$ (pues $\iota^2 = \mathrm{id}$) y sustituyendo en la ecuación del círculo:

$\left| \frac{r^2}{|P'|^2} P' - C \right|^2 = \rho^2$, que se desarrolla como $\frac{r^4}{|P'|^2} - \frac{2r^2 P' \cdot C}{|P'|^2} + |C|^2 = \rho^2$. Multiplicando por $|P'|^2 / r^4$:

$1 - \frac{2 P' \cdot C}{r^2} + \frac{(|C|^2 - \rho^2)|P'|^2}{r^4} = 0$.

Multiplicando por $r^4 / (|C|^2 - \rho^2)$ (que es no nulo porque $O \notin \omega$ equivale a $|C| \ne \rho$):

$|P'|^2 - \frac{2r^2 C}{|C|^2 - \rho^2} \cdot P' + \frac{r^4}{|C|^2 - \rho^2} = 0$.

Completando el cuadrado en $P'$, esta es la ecuación de una circunferencia con centro $C' = \frac{r^2 C}{|C|^2 - \rho^2}$ y radio $\rho' = \frac{r^2 \rho}{\left||C|^2 - \rho^2\right|}$. Como $|C| \ne \rho$, tenemos $\rho' > 0$ y el resultado es una circunferencia bien definida.

Advertencia crucial: el centro no mapea al centro

Un error muy frecuente en los problemas olímpicos es asumir que si $\omega$ tiene centro $C$ y la imagen $\omega' = \iota(\omega)$ es una circunferencia, entonces $C' = \iota(C)$ es el centro de $\omega'$. Esto es falso en general.

La fórmula del Caso 4 muestra que el centro de $\omega'$ es $C' = r^2 C / (|OC|^2 - \rho^2)$, mientras que $\iota(C) = r^2 C / |OC|^2$. Estos dos puntos son distintos a menos que $\rho = 0$.

Ejemplo concreto. Inversión con $O = (0,0)$ y $r = 1$. Sea $\omega$: centro $C = (2, 0)$ y radio $\rho = 1$. Entonces $|OC|^2 = 4$ y $|OC|^2 - \rho^2 = 3$. Centro de $\omega'$: $C' = (1/3)(2,0) = (2/3, 0)$. Pero $\iota(C) = \iota(2,0) = (1/4)(2,0) = (1/2, 0)$. En efecto $C' \ne \iota(C)$.

La razón geométrica de este fenómeno es que la inversión no es una transformación lineal (ni afín), sino una transformación racional de grado 2. Los centros de círculos no son invariantes del tipo correcto.

Consecuencia práctica. Para encontrar el centro de la circunferencia imagen, hay que usar la fórmula del Caso 4 directamente. En la práctica olímpica, a menudo no necesitamos el centro exacto: nos basta saber que la imagen es una circunferencia (o recta) y cuáles son algunos de sus puntos (los que podemos calcular fácilmente).

Resumen: el catálogo completo

La siguiente tabla resume los cuatro casos. Una manera de memorizarlos es pensar que "pasar por $O$" equivale a "pasar por el infinito" después de la inversión:

**Recta por $O$** $\xrightarrow{\iota}$ **Recta por $O$** (la misma recta).

**Recta sin $O$** $\xrightarrow{\iota}$ **Circunferencia por $O$**.

**Circunferencia por $O$** $\xrightarrow{\iota}$ **Recta sin $O$**.

**Circunferencia sin $O$** $\xrightarrow{\iota}$ **Circunferencia sin $O$**.

Nota que rectas y circunferencias se mezclan: la inversión no distingue entre una recta y una circunferencia, sino entre objetos que pasan por $O$ (que corresponden a rectas en la imagen) y objetos que no pasan por $O$ (que corresponden a circunferencias en la imagen). Esta unificación sugiere trabajar en el plano inversivo, donde rectas y circunferencias son el mismo tipo de objeto ("círculos generalizados").

En la siguiente lección aplicamos este catálogo para aprender a elegir el centro de inversión de forma estratégica, que es la habilidad central para resolver problemas olímpicos con inversión.