Cómo elegir el centro de inversión en competencia

El problema de la elección

Sabemos que la inversión transforma rectas y circunferencias en rectas y circunferencias. Pero la clave del método no es solo saber que existe una inversión que simplifica el problema, sino saber cuál inversión elegir. El centro y el radio de inversión determinan completamente qué se simplifica y qué no.

En competencia, la elección del centro de inversión es una decisión táctica que requiere leer el problema y reconocer su estructura. No hay un algoritmo mecánico, pero hay patrones que se repiten. En esta lección presentamos tres patrones principales y un marco de decisión para combinarlos.

Antes de los patrones, un principio general: invierte en un punto especial del problema. Un punto especial es aquel donde convergen varias circunferencias, donde hay tangencias, o donde el problema tiene alguna simetría. Elegir un punto genérico como centro de inversión transforma la configuración en otra configuración igualmente complicada.

Patrón 1: invertir en un punto de tangencia

Cuándo usarlo. Cuando el problema involucra dos o más círculos que son tangentes entre sí en un punto $T$, y esa tangencia complica la configuración.

Qué ocurre. Si invertimos con centro $O = T$ (el punto de tangencia), los dos círculos tangentes en $T$ se transforman en dos rectas paralelas (si la tangencia es externa) o en dos semirrectas del mismo lado (si la tangencia es interna). Esto se debe a que ambos círculos pasan por $T = O$, y por el Caso 3 cada uno mapea a una recta. Como los dos círculos eran tangentes en $T$ (su ángulo de intersección en $T$ era $0°$), sus imágenes (las dos rectas) tienen ángulo $0°$ entre ellas, es decir son paralelas.

Demostración. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ tangentes externamente en $T$. Ambas pasan por $T = O$, así $\iota(\omega_1)$ es una recta $\ell_1$ y $\iota(\omega_2)$ es una recta $\ell_2$. El ángulo entre $\omega_1$ y $\omega_2$ en $T$ es $0°$ (son tangentes). Por la conformidad de la inversión, el ángulo entre $\ell_1$ y $\ell_2$ (que es el ángulo en $T'$ = imagen de un punto de intersección, pero como ambas pasan por $O$ y $O$ no tiene imagen...) se analiza tomando la tangente a cada círculo en $T$: como los dos círculos son tangentes en $T$, tienen la misma tangente en $T$. Sus imágenes $\ell_1$ y $\ell_2$ son paralelas a esa tangente común (por la propiedad del Caso 2/3: la recta imagen es perpendicular a $O H'$ donde $H'$ es la imagen del pie de la perpendicular desde $O$).

Resultado. Dos círculos tangentes en el centro de inversión se transforman en dos rectas paralelas. Tres círculos mutuamente tangentes en el centro de inversión se transforman en tres rectas que forman un triángulo.

Patrón 2: la técnica de "eliminar un círculo"

Cuándo usarlo. Cuando el problema tiene una circunferencia "especial" o "molesta" — por ejemplo, una circunferencia que contiene a varios puntos relevantes pero cuya presencia complica los cálculos. Si elegimos el centro de inversión en un punto de esa circunferencia, la circunferencia se transforma en una recta (Caso 3), lo que suele simplificar radicalmente la configuración.

Estrategia detallada. Sea $\omega$ la circunferencia que queremos eliminar. Elige $O$ como cualquier punto de $\omega$. Bajo $\iota$, $\omega$ mapea a una recta $\ell$. Los demás círculos del problema (que no pasan por $O$) mapean a círculos. Los puntos del problema que estaban en $\omega$ mapean a puntos en $\ell$. El problema original sobre $\omega$ se convierte en un problema sobre una recta, que suele ser mucho más fácil.

Ejemplo prototípico. En el triángulo $ABC$ inscrito en $\omega$, queremos demostrar que ciertos puntos relacionados con $A$, $B$, $C$ son concíclicos. Si invertimos con centro $O = A$, la circunferencia $\omega$ mapea a una recta $\ell$ que contiene las imágenes $B'$ y $C'$. El triángulo $ABC$ se convierte en un triángulo $AB'C'$ donde $B'$ y $C'$ están en una recta $\ell$, es decir el triángulo se "degenera" a una configuración en una recta, lo que puede simplificar enormemente las relaciones de conciclidaridad.

Elección del radio. En la técnica de eliminar un círculo, a menudo conviene elegir $r^2 =$ potencia de $O$ respecto de los otros círculos del problema, para que los otros círculos queden en posición cómoda. En muchos problemas de Cono Sur e Iberoamericana se puede elegir $r$ de forma que uno de los otros círculos sea su propia imagen bajo la inversión (lo que ocurre cuando $O$ está en el eje radical de ese círculo consigo mismo, condición que se satisface cuando $r$ es la longitud de la tangente desde $O$ a ese círculo).

Patrón 3: invertir para unificar tangencias múltiples

Cuándo usarlo. Cuando el problema tiene tres o más círculos que son mutuamente tangentes (configuración de Apolonio o Soddy) o cuando varios círculos son tangentes a una misma recta o circunferencia.

Qué ocurre. Si los tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ son mutuamente tangentes, con $\omega_1$ y $\omega_2$ tangentes en $T$, y elegimos $O = T$, entonces $\omega_1 \to \ell_1$ (recta) y $\omega_2 \to \ell_2$ (recta paralela). El tercer círculo $\omega_3$ (que es tangente a $\omega_1$ en un punto $T_1 \ne T$ y tangente a $\omega_2$ en $T_2 \ne T$) no pasa por $O = T$, así mapea a otro círculo $\omega_3'$. Pero $\omega_3'$ debe ser tangente a las dos rectas paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$, es decir ¡$\omega_3'$ es un círculo inscrito entre las dos rectas paralelas! El radio de $\omega_3'$ es la mitad de la distancia entre $\ell_1$ y $\ell_2$, y su configuración es perfectamente simétrica.

Generalización. En la configuración de Soddy con cuatro círculos mutuamente tangentes, elegimos $O$ como el punto de tangencia entre dos de ellos. Los cuatro círculos se transforman en dos rectas paralelas y dos círculos inscritos entre ellas, todos mutuamente tangentes. Esta configuración transformada es sencilla de analizar, y al invertir de vuelta obtenemos el resultado en el original.

Ejemplo: cadenas de Steiner. Una cadena de Steiner es una secuencia de círculos $c_1, c_2, \ldots, c_n$ tal que cada $c_i$ es tangente a $c_{i-1}$, a $c_{i+1}$, y a dos círculos fijos $\alpha$ y $\beta$. Invirtiendo con centro en un punto de tangencia entre $\alpha$ y $\beta$, ambos se convierten en rectas paralelas, y la cadena de Steiner se convierte en una fila de círculos iguales entre las dos rectas. La clausura de la cadena (el hecho de que $c_n$ sea tangente a $c_1$) se vuelve entonces obvia.

Marco de decisión: cómo elegir el centro en competencia

Cuando te enfrentas a un problema de inversión en competencia, aplica el siguiente árbol de decisión:

Paso 1. ¿Hay dos o más círculos que son tangentes entre sí? Si sí, considera invertir en uno de los puntos de tangencia. Esto "separa" los círculos tangentes en rectas paralelas, simplificando la configuración. Elige el punto de tangencia que conecte los dos círculos más "centrales" del problema.

Paso 2. ¿Hay un círculo grande o dominante (por ejemplo, la circuncircunferencia del triángulo) que contiene a varios puntos importantes? Considera invertir en un punto de ese círculo. Esto lo convierte en una recta, reduciendo el problema a una configuración más lineal.

Paso 3. ¿El problema tiene un punto especial donde concurren varias circunferencias o donde el problema tiene simetría (por ejemplo, el incentro, el ortocentro, un vértice del triángulo)? Considera invertir en ese punto.

Paso 4. Una vez elegido el centro $O$, elige el radio $r$ para maximizar la simplicidad de la imagen. A menudo $r$ no importa para las relaciones cualitativas (conciclidaridad, tangencia, concurrencia) pero afecta las relaciones métricas. Si el problema es puramente cualitativo, elige $r$ por conveniencia (por ejemplo $r = 1$ o $r =$ radio de algún círculo relevante).

Regla de oro. La inversión debe convertir el problema en algo que ya sabes resolver. Si la imagen transformada sigue siendo difícil, has elegido el centro equivocado. En ese caso, prueba con el otro punto de tangencia o con un centro diferente.

Aplicación: tres círculos tangentes a una recta

Como ejercicio de aplicación del marco, consideremos el siguiente problema clásico: Tres círculos $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ son tangentes externamente entre sí y los tres son tangentes a una recta $\ell$. Expresa el radio de $\omega_3$ en función de los radios de $\omega_1$ y $\omega_2$.

Análisis. Los tres círculos son tangentes entre sí (tres tangencias) y también son tangentes a $\ell$. Esto es una configuración con cuatro "objetos" (los tres círculos más la recta) mutuamente tangentes en cierto sentido. Es ideal para la inversión.

Elección del centro. $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes en un punto $T$. Invertimos con centro $O = T$ y radio $r =$ (elige $r^2 = 2 r_1 r_2$ por conveniencia, como veremos). Bajo esta inversión: $\omega_1 \to \ell_1$ (recta), $\omega_2 \to \ell_2$ (recta paralela a $\ell_1$). La recta $\ell$ (que pasa por un punto lejano a $O = T$) mapea a un círculo $\ell'$ que pasa por $O$. El círculo $\omega_3$ (tangente a $\omega_1$, $\omega_2$ y $\ell$) mapea al círculo $\omega_3'$ (tangente a $\ell_1$, $\ell_2$ y $\ell'$).

Resultado. Con la elección de $r$ apropiada, $\ell_1$ y $\ell_2$ son las rectas $y = 0$ e $y = 2r_1 r_2 / (r_1 + r_2)$ (proporcional a la media armónica de $r_1$ y $r_2$), y $\omega_3'$ es un círculo de radio la mitad de la distancia entre ellas. Deshaciendo la inversión se obtiene: $\frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}$. Esta es la fórmula de Descartes simplificada para la configuración plana sobre una recta.

Noten que sin inversión esta fórmula requiere un cálculo de distancias entre centros (Pitágoras) que es mucho más largo. La inversión reduce el problema a observar que $\omega_3'$ debe inscribirse entre dos rectas paralelas.