Problemas olímpicos resueltos con inversión

El flujo completo de una solución con inversión

Antes de los tres problemas, enunciemos el flujo de trabajo que aplica en todos ellos:

(1) Leer y reconocer. Identificar la estructura de la configuración: ¿hay tangencias? ¿Hay un círculo dominante? ¿Hay un punto especial con muchas incidencias?

(2) Elegir la inversión. Aplicar el marco de la Lección 2.3: elegir el centro $O$ y el radio $r$ que más simplifique la configuración.

(3) Transformar. Calcular la imagen de cada objeto del problema (usando el catálogo de la Lección 2.2). Dibujar la configuración transformada.

(4) Resolver en la imagen. El problema transformado debe ser más simple. Resolverlo usando las herramientas que ya conocemos (semejanza, ángulos inscritos, potencia de punto, etc.).

(5) Volver. Si la solución en la imagen involucra afirmaciones cualitativas (tangencia, concurrencia, conciclidaridad), invocar la propiedad de que la inversión preserva estas propiedades (la conformidad y la correspondencia de tipos). Si son afirmaciones métricas, usar la fórmula de distancias $P'Q' = r^2 \cdot PQ / (OP \cdot OQ)$.

Problema 1: el teorema de Ptolomeo por inversión

Enunciado. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico (inscrito en una circunferencia). Entonces $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$.

Inversión utilizada. Centro $O = A$, radio $r = 1$ (cualquier radio sirve para un argumento cualitativo). Bajo esta inversión:

— La circuncircunferencia $\omega$ pasa por $A = O$, así $\iota(\omega) =$ una recta $\ell$.

— Los puntos $B, C, D \in \omega$ tienen imágenes $B', C', D' \in \ell$. La imagen de un punto cíclico es un punto en la recta $\ell$.

Configuración transformada. Los cuatro puntos $A, B, C, D$ en la circunferencia se convierten en $B', C', D'$ en una recta $\ell$ (el punto $A$ va al infinito). El orden de $B', C', D'$ en $\ell$ corresponde al orden de $B, C, D$ en el arco de $\omega$. Supongamos que el orden es $B', C', D'$ en la recta.

Fórmula de distancias. Por la fórmula $P'Q' = r^2 \cdot PQ / (AP \cdot AQ)$:

$B'C' = \frac{BC}{AB \cdot AC}$, $\quad C'D' = \frac{CD}{AC \cdot AD}$, $\quad B'D' = \frac{BD}{AB \cdot AD}$.

Identidad en la recta. Si $B', C', D'$ están en una recta con $C'$ entre $B'$ y $D'$, entonces $B'D' = B'C' + C'D'$ (caso colineal directo). Sustituyendo:

$\frac{BD}{AB \cdot AD} = \frac{BC}{AB \cdot AC} + \frac{CD}{AC \cdot AD}$.

Multiplicando por $AB \cdot AC \cdot AD$:

$BD \cdot AC = BC \cdot AD + CD \cdot AB$.

Este es exactamente el teorema de Ptolomeo $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$. La igualdad en la recta (colinealidad de $B'$, $C'$, $D'$) es un hecho elemental que no requiere demostración.

Problema 2: el teorema de Descartes (derivación vía inversión)

Enunciado (Descartes, 1643). Si cuatro círculos son mutuamente tangentes, con curvaturas $k_1 = 1/r_1$, $k_2 = 1/r_2$, $k_3 = 1/r_3$, $k_4 = 1/r_4$ (con la convención de que la curvatura es negativa si el círculo contiene a los otros tres), entonces:

$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)$.

Idea de la demostración por inversión. La inversión nos permite reducir el caso general al caso especial donde uno de los cuatro círculos es una recta (curvatura $0$). Si $k_4 = 0$, el teorema de Descartes se convierte en $(k_1 + k_2 + k_3)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2)$, que es equivalente a $k_1 k_2 + k_2 k_3 + k_3 k_1 = (k_1^2 + k_2^2 + k_3^2)/2$... pero mejor aún, si además $k_3 = 0$ (dos rectas paralelas, como en la Lección 2.3), el teorema dice $k_1 = k_2$ (los dos círculos entre las dos rectas paralelas son iguales), que es trivialmente cierto por simetría.

Reducción por inversión. Sea la configuración de cuatro círculos mutuamente tangentes. Elige el punto de tangencia $T$ entre $\omega_1$ y $\omega_2$ como centro de inversión. Bajo $\iota$: $\omega_1 \to \ell_1$, $\omega_2 \to \ell_2$ (dos rectas paralelas). $\omega_3 \to \omega_3'$ (círculo tangente a $\ell_1$ y $\ell_2$). $\omega_4 \to \omega_4'$ (círculo tangente a $\ell_1$, $\ell_2$ y $\omega_3'$). La distancia entre $\ell_1$ y $\ell_2$ es $2\rho$ para algún $\rho > 0$, y los radios de $\omega_3'$ y $\omega_4'$ son ambos $\rho$ (ya que se inscriben entre las dos rectas). Calculando la relación de distancias mediante la fórmula de inversión se obtienen las curvaturas originales en términos de $r_1$, $r_2$ y la distancia entre centros, y expandiendo la identidad de Descartes se verifica algebraicamente.

Fórmula de Descartes en el plano (caso con recta). Si tres círculos de radios $r_1$, $r_2$, $r_3$ son mutuamente tangentes y los tres son tangentes a una recta, se tiene la fórmula ya vista: $\frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}} + \frac{1}{\sqrt{r_2}}$. Esto es una consecuencia directa de la inversión y sirve como caso base para el teorema general de Descartes.

Problema 3: problema olímpico de circunferencias tangentes

Enunciado (estilo Cono Sur / Iberoamericana). Sea $ABC$ un triángulo con incircunferencia $\omega$ tangente a $BC$ en $X$, a $CA$ en $Y$ y a $AB$ en $Z$. Sea $\Omega$ la circuncircunferencia de $ABC$. La circunferencia $\omega_A$ es tangente internamente a $\Omega$ y tangente externamente a los lados $AB$ y $AC$ (la "mixtilinear incircle" del ángulo $A$). Sea $T_A$ el punto donde $\omega_A$ toca a $\Omega$. Demuestra que $T_A$, $X$ y el punto medio de $BC$ son colineales.

Paso 1 — Elección del centro de inversión. El objeto más complicado de la configuración es la relación entre $\omega_A$ (que es tangente a $\Omega$ y a dos lados). Invertimos con centro $O = A$ y radio $r^2 = AB \cdot AC$ (esto garantiza que el segmento $BC$ no se mueva demasiado en la imagen).

**Paso 2 — Imagen bajo $\iota$.** La circunferencia $\Omega$ pasa por $A = O$, así $\iota(\Omega)$ es una recta $\ell$ (paralela a $BC$ por la elección de $r^2 = AB \cdot AC$). Los lados $AB$ y $AC$ son rectas que pasan por $O = A$, luego mapean a sí mismos. La circunferencia $\omega_A$ (tangente a $\Omega$ y a $AB$, $AC$) mapea a un círculo $\omega_A'$ tangente a la recta $\ell$, a la recta $AB$ y a la recta $AC$, es decir, $\omega_A'$ está inscrita en el ángulo $A$ y es tangente a la recta $\ell$. Dado que $\ell \parallel BC$, este círculo inscrito en el ángulo con base paralela a $BC$ tiene su centro en la bisectriz de $\angle A$.

Paso 3 — Colinealidad en la imagen. El punto $T_A \in \Omega$ mapea a un punto $T_A' \in \ell$, y $T_A'$ es el punto de tangencia de $\omega_A'$ con $\ell$. Por simetría de $\omega_A'$ respecto de la bisectriz de $A$, el punto $T_A'$ es el punto medio de la cuerda de $\ell$ entre las dos tangentes desde $A$ a $\omega_A'$. Usando propiedades elementales de tangentes y la bisectriz, $T_A'$, la imagen de $X$ y la imagen del punto medio de $BC$ resultan colineales en la imagen.

Paso 4 — Vuelta a la configuración original. Aplicamos $\iota$ de nuevo. La inversión preserva la alineación (tres puntos colineales bajo inversión mapean a tres puntos concíclicos o colineales). Como $T_A'$, imagen de $X$, imagen del punto medio de $BC$ están en la recta $\ell$ (colineales), sus preimágenes $T_A$, $X$, punto medio de $BC$ están en la preimagen de $\ell$, que es $\Omega$... No exactamente. Apliquemos la inversión más cuidadosamente: los tres puntos colineales en $\ell$ preimaginan a tres puntos en $\Omega$ que no son colineales en general. La colinealidad deseada ($T_A$, $X$, punto medio de $BC$ colineales) se obtiene analizando cuál recta de la imagen corresponde a la recta del enunciado. Este último paso es el más técnico y requiere el cálculo explícito con la fórmula de distancias, que se deja como ejercicio.

Problema 4: el problema de Apolonio por inversión

Enunciado (Problema de Apolonio). Dados tres círculos en posición general, existen exactamente ocho círculos tangentes a los tres simultáneamente. Usa inversión para construir uno de ellos.

Método. Elige dos de los tres círculos, di $\omega_1$ y $\omega_2$. Sean $T$ un punto de tangencia externo entre $\omega_1$ y $\omega_2$ si los buscamos (o un punto conveniente de $\omega_1$ si no hay tangencia). Invertimos con centro $O = T$ de forma que $\omega_1 \to \ell_1$ (recta) y $\omega_2 \to \ell_2$ (recta). El tercer círculo $\omega_3$ mapea a $\omega_3'$.

Buscamos un círculo $\omega'$ tangente a $\ell_1$, $\ell_2$ y $\omega_3'$. Dependiendo de si $\ell_1 \parallel \ell_2$ o no:

— Si $\ell_1 \parallel \ell_2$ (cuando $\omega_1$ y $\omega_2$ eran tangentes externas en $T$): los círculos tangentes a $\ell_1$ y $\ell_2$ tienen radio exactamente la mitad de la distancia entre ellas. Hay dos familias (a cada lado), y cada una debe ser tangente a $\omega_3'$. Esto es un problema elemental de tangencia en el plano.

— Si $\ell_1$ y $\ell_2$ se cortan: los círculos tangentes a ambas son círculos inscritos en los cuatro "sectores" del ángulo entre ellas. En cada sector, la tangencia con $\omega_3'$ da (generalmente) dos soluciones.

Inversión de vuelta. El círculo $\omega'$ tangente a $\ell_1$, $\ell_2$ y $\omega_3'$ preimaginan a un círculo $\iota(\omega')$ tangente a $\omega_1$, $\omega_2$ y $\omega_3$. Las ocho soluciones del problema de Apolonio corresponden a las ocho elecciones de orientación de tangencia (externa o interna) para los tres pares.

La inversión no solo simplifica el problema de Apolonio: hace visible por qué hay exactamente ocho soluciones (ocho combinaciones de signos de tangencia), y por qué en casos degenerados algunas soluciones se fusionan o desaparecen.

Síntesis del Capítulo 2 y conexión con lo que viene

En este capítulo hemos aprendido la inversión de principio a fin: definición, propiedades, catálogo de transformaciones, criterio de elección, y aplicaciones olímpicas. Los cuatro resultados clave son:

(1) $\iota(P)$ está en el rayo $\overrightarrow{OP}$ con $OP \cdot OP' = r^2$. La inversión es una involución conforme.

(2) Rectas/círculos se transforman según el catálogo: pasa por $O \leftrightarrow$ recta en la imagen; no pasa por $O \leftrightarrow$ círculo en la imagen.

(3) Para elegir el centro: invierte en un punto de tangencia para "separar" tangencias; invierte en un punto de un círculo para "eliminar" ese círculo.

(4) Ptolomeo, Descartes y Apolonio tienen demostraciones elegantes con inversión.

En el Capítulo 3 exploraremos las circunferencias especiales del triángulo (incircunferencia, excircunferencias, circunferencia de los nueve puntos). La inversión del Capítulo 2 aparecerá de nuevo: el punto de Feuerbach (donde la incircunferencia es tangente a la circunferencia de los nueve puntos) tiene una demostración natural por inversión, y las excircunferencias forman una configuración de cuatro círculos mutuamente tangentes a la que aplica el teorema de Descartes.

El dominio de la inversión es el que distingue al estudiante que resuelve los problemas 1 y 2 de los concursos Iberoamericanos del que puede atacar el problema 3.