Incircunferencia y exinscriptas: propiedades y fórmulas

El incentro y la incircunferencia

Dado un triángulo $ABC$ con lados $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, semiperímetro $s = (a+b+c)/2$ y área $[ABC]$, el incentro $I$ es el punto de concurrencia de las tres bisectrices internas. Su existencia y unicidad se demuestran mediante la propiedad de que todo punto de una bisectriz equidista de los dos lados que bisecta: el incentro equidista de los tres lados simultáneamente.

La incircunferencia (o círculo inscrito) $\omega$ tiene centro $I$ y radio $r$ (el inradio) dado por la fórmula fundamental:

Demostración: el área del triángulo $ABC$ se descompone como la suma de las áreas de $\triangle IBC$, $\triangle ICA$, $\triangle IAB$. Cada uno tiene base $a$, $b$, $c$ respectivamente y altura $r$ (la distancia del incentro al lado). Por tanto $[ABC] = \frac{r}{2}(a+b+c) = rs$.

Las tangencias de $\omega$ con los lados son los puntos $X$ en $BC$, $Y$ en $CA$, $Z$ en $AB$. Como las dos tangentes desde un punto exterior a un círculo son iguales, se tiene: $AY = AZ = s - a$, $BZ = BX = s - b$, $CX = CY = s - c$. Estas longitudes son fundamentales en los problemas olímpicos.

Las tres exinscriptas

Para cada vértice $A$ existe una circunferencia tangente al lado $BC$ y a las prolongaciones de $AB$ y $AC$: esta es la **exinscrita opuesta a $A$, también llamada excírculo $A$**, con centro $I_A$ (el excentro opuesto a $A$) y radio $r_A$ (el exradio opuesto a $A$).

El excentro $I_A$ es la intersección de la bisectriz interna del ángulo $A$ con las bisectrices externas de los ángulos $B$ y $C$. En otras palabras: $I_A$ equidista de la recta $BC$ y de las rectas que contienen a $AB$ y $AC$, pero está del lado externo respecto de $B$ y $C$.

Los exradios se calculan con las fórmulas:

$r_A = \frac{[ABC]}{s - a}$, $\quad r_B = \frac{[ABC]}{s - b}$, $\quad r_C = \frac{[ABC]}{s - c}$.

Demostración de $r_A$: el área $[ABC]$ se puede expresar como $[I_A BC] - [I_A CA] - [I_A AB]$ (el triángulo grande $I_ABC$ menos los dos triángulos adyacentes a $I_A$ fuera de $ABC$). Cada triángulo $I_A XY$ tiene altura $r_A$ desde $I_A$ al lado correspondiente. Entonces $[ABC] = \frac{r_A}{2}(a - b - c) + \frac{r_A}{2} \cdot 2b + \frac{r_A}{2} \cdot 2c$... El argumento correcto es: $[ABC] = [I_ACA] + [I_AAB] - [I_ABC]$, que da $[ABC] = \frac{r_A}{2}(b + c - a) = r_A(s - a)$.

Tangencias de las exinscriptas

La exinscrita $\omega_A$ (radio $r_A$, centro $I_A$) toca a $BC$ en el punto $X'$, a la prolongación de $CA$ más allá de $A$ en el punto $Y'$, y a la prolongación de $BA$ más allá de $A$ en $Z'$. Las longitudes de tangencia son:

$BX' = BZ' = s - c$, $\quad CX' = CY' = s - b$, $\quad AY' = AZ' = s$.

Observación crucial: $AY' = AZ' = s$. Este hecho —que la tangente desde $A$ a la exinscrita opuesta a $A$ tiene longitud $s$— es la clave de muchos problemas que involucran exinscriptas. Compáralo con la incircunferencia: $AY = AZ = s - a$.

La diferencia $BX' - BX = (s-c) - (s-b) = b - c$ codifica la "asimetría" del triángulo. En un triángulo isósceles ($b = c$) los puntos de tangencia de $\omega$ y $\omega_A$ en $BC$ coinciden.

Las cuatro circunferencias $\omega$, $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$ y los cuatro puntos $I$, $I_A$, $I_B$, $I_C$ forman el sistema excíclico del triángulo. Una propiedad notable: $\triangle I_A I_B I_C$ tiene a $I$ como ortocentro, y $\triangle ABC$ es el triángulo ótico de $\triangle I_A I_B I_C$.

Fórmulas métricas del incentro y los excentros

Las distancias del incentro a los vértices son:

$IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$, $\quad IB = \frac{r}{\sin(B/2)}$, $\quad IC = \frac{r}{\sin(C/2)}$.

Esto se obtiene del triángulo $AIZ$ (donde $Z$ es la tangencia en $AB$): $\angle AIZ = 90°$, $IZ = r$, $\angle IAZ = A/2$, luego $AI = r / \sin(A/2)$.

Una fórmula alternativa muy útil combina el inradio con los ángulos: $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$, donde $R$ es el circunradio. Esta identidad conecta las dos circunferencias más importantes del triángulo y tiene muchas aplicaciones en persecución de ángulos.

Para los exradios: $r_A = 4R \sin(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)$. El patrón es claro: en $r_A$, los factores correspondientes a $B$ y $C$ cambian de $\sin$ a $\cos$, porque la exinscrita opuesta a $A$ está asociada a las bisectrices externas de $B$ y $C$.

Identidades de producto: $r \cdot r_A \cdot r_B \cdot r_C = [ABC]^2$. Y $r_A + r_B + r_C - r = 4R$. Estas relaciones numéricas son de memorización obligatoria para competencias del nivel Iberoamericano.

Relaciones entre el incentro y los excentros

Los cuatro puntos $I$, $I_A$, $I_B$, $I_C$ son los vértices del triángulo excíclico. Sus propiedades más importantes:

(1) $I$, $I_A$ son armónicamente conjugados respecto de los pies de las bisectrices internas y externas de $\angle A$. En otras palabras, $I$ e $I_A$ están en la bisectriz de $\angle A$, con $B$ y $C$ separándolos de manera armónica.

(2) Los ángulos del triángulo $II_BI_C$: $\angle I_B I I_C = 90° - A/2$. Esto implica que el triángulo cuyos vértices son $I_B$ e $I_C$ y el punto medio del arco $BC$ de la circuncircunferencia tiene propiedades importantes de concurrencia.

(3) Configuración ortocéntrica: $\triangle I_A I_B I_C$ tiene a $I$ como su ortocentro. Las alturas de $\triangle I_A I_B I_C$ son las bisectrices de $\triangle ABC$. Esto significa que todo resultado sobre el ortocentro de un triángulo se puede "dualizar" a un resultado sobre el incentro de otro triángulo.

(4) Propiedad del eje radical: el eje radical de $\omega$ y $\omega_A$ es la recta $I_B I_C$ (que pasa por el punto medio del arco $BC$ sin $A$ de la circuncircunferencia y por otros puntos notables). Esta conexión con la Potencia de un Punto (Capítulo 1) es la que hace al sistema excíclico tan poderoso.

Síntesis y herramientas para la competencia

Las cuatro herramientas de esta lección que más aparecen en problemas Iberoamericanos y Cono Sur son:

(1) Tangencias: $AY = AZ = s-a$, $AY' = AZ' = s$. Permiten calcular segmentos sin trigonometría.

(2) Fórmulas del área: $[ABC] = rs = r_A(s-a) = r_B(s-b) = r_C(s-c)$. Conectan el inradio/exradios con el área.

(3) Relación $r = 4R\sin(A/2)\sin(B/2)\sin(C/2)$. Conecta la incircunferencia con la circuncircunferencia; se usa para demostrar que ciertos puntos son concíclicos.

(4) Estructura ortocéntrica de $\triangle I_A I_B I_C$. Convierte problemas sobre el incentro en problemas sobre el ortocentro de otro triángulo, que a veces son más accesibles.

En la siguiente lección encontramos el resultado más profundo que conecta la incircunferencia con otra circunferencia del triángulo: el punto de Feuerbach y la circunferencia de los nueve puntos.