El punto de Feuerbach y la circunferencia de los nueve puntos

La circunferencia de los nueve puntos

Dado el triángulo $ABC$ con ortocentro $H$ y circuncentro $O$, la circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$ (también llamada circunferencia de Euler o de Feuerbach) pasa por los siguientes nueve puntos notables:

— Los tres pies de las alturas: $H_A \in BC$, $H_B \in CA$, $H_C \in AB$.

— Los tres puntos medios de los lados: $M_A$ (punto medio de $BC$), $M_B$ (de $CA$), $M_C$ (de $AB$).

— Los tres puntos medios de los segmentos del ortocentro: $E_A$ (punto medio de $AH$), $E_B$ (de $BH$), $E_C$ (de $CH$).

El centro de $\mathcal{N}$ es el punto $N_9$ (o $N$), que es el punto medio del segmento $OH$ (la recta de Euler). El radio de $\mathcal{N}$ es $R/2$, exactamente la mitad del circunradio.

Demostración de que el radio es $R/2$: el cuadrilátero $M_A M_B M_C$ es el triángulo medial de $ABC$, que es semejante a $ABC$ con razón $1/2$. La circuncircunferencia del triángulo medial es por tanto una circunferencia de radio $R/2$. Los otros seis puntos también caen en esta circunferencia (por el teorema de la circunferencia de los nueve puntos, demostrable con ángulos inscritos).

Demostración de la circunferencia de los nueve puntos

Demostremos que los nueve puntos son concíclicos. Basta demostrar que los seis puntos $M_A, M_B, M_C, H_A, H_B, H_C$ son concíclicos (los tres puntos medios $E_A, E_B, E_C$ se incluyen con un argumento análogo).

Paso 1: $M_A, M_B, M_C, H_A$ son concíclicos. En el triángulo $ABC$, los puntos medios $M_B$ y $M_C$ satisfacen $M_BM_C \parallel BC$ y $M_BM_C = a/2$. El ángulo $\angle M_B H_A M_C$: dado que $AH_A \perp BC$ y $H_A \in BC$, podemos verificar que $\angle M_B H_A M_C = 90°$ (usando que $M_B M_C$ es paralela a $BC$ y el pie de la altura es perpendicular a $BC$). Luego $H_A$ ve al segmento $M_B M_C$ con ángulo recto, por tanto $H_A$ está en la circunferencia de diámetro $M_B M_C$. Análogamente $M_A$ está en esa circunferencia.

Paso 2: verificar $H_B$ y $H_C$. Por simetría del argumento, $H_B$ y $H_C$ también caen en la circunferencia que contiene a $M_A, M_B, M_C$.

Paso 3: el radio. El triángulo medial $M_A M_B M_C$ es semejante a $ABC$ con razón $1:2$, luego su circunradio es $R/2$. La circunferencia de los nueve puntos es precisamente la circuncircunferencia del triángulo medial.

El teorema de Feuerbach

Teorema (Feuerbach, 1822). La circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$ de un triángulo $ABC$:

(a) Es tangente internamente a la incircunferencia $\omega$ (de radio $r$).

(b) Es tangente externamente a cada una de las tres exinscriptas $\omega_A$, $\omega_B$, $\omega_C$.

El punto de tangencia de $\mathcal{N}$ con $\omega$ se llama el punto de Feuerbach $F$. Su existencia es uno de los resultados más bellos de la geometría del triángulo y fue muy difícil de demostrar cuando Feuerbach lo anunció.

Distancia entre centros. Para verificar la tangencia (a), debemos mostrar que $|N_9 I| = R/2 - r$. Para la tangencia (b) con $\omega_A$: $|N_9 I_A| = R/2 + r_A$.

La fórmula para $|OI|^2$ es la fórmula de Euler: $OI^2 = R^2 - 2Rr = R(R-2r)$. Como $N_9$ es el punto medio de $OH$ y $H$ es el ortocentro con $OH = R\sqrt{1-8\cos A\cos B\cos C}$... el cálculo directo de $N_9 I$ es algebraicamente complejo. La demostración más elegante usa inversión.

Demostración del teorema de Feuerbach por inversión

La inversión que demuestra el teorema de Feuerbach tiene centro en el punto medio de $M_A H_A$ (o equivalentemente, en el punto de tangencia de la incircunferencia con el lado $BC$). La idea central es la siguiente.

Sea $X$ el punto de tangencia de $\omega$ con $BC$. Consideremos la inversión $\iota$ con centro $O = X$ y radio $r^2 = XB \cdot XC$ (que es la potencia de $X$ respecto de $\mathcal{N}$, lo cual se verifica usando que $X$ es el pie del radio de $\omega$ sobre $BC$ y las fórmulas de tangencia).

Bajo esta inversión: la incircunferencia $\omega$ (que pasa por $X = O$) mapea a una recta $\ell_\omega$. La circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$ (que no pasa por $X$ en general) mapea a una circunferencia $\mathcal{N}'$. Para que $\omega$ y $\mathcal{N}$ sean tangentes en el punto de Feuerbach $F$, sus imágenes $\ell_\omega$ y $\mathcal{N}'$ deben ser tangentes (propiedad de conformidad de la inversión). Verificar esta tangencia en la imagen es un cálculo de longitudes que resulta directo usando las fórmulas de tangencia $XB = s - b$, $XC = s - c$ y la posición de los puntos medios sobre $BC$.

El argumento completo requiere verificar que el punto de tangencia de $\mathcal{N}'$ con $\ell_\omega$ retrocede al punto de Feuerbach $F$, lo cual se hace comprobando que la inversión de $F'$ (imagen de $F$ bajo $\iota$) es un punto bien definido en $\mathcal{N}$ y en $\omega$. Este es un ejercicio de nivel Iberoamericano que aparece como Problema G2-3.4 al final de este capítulo.

Propiedades del punto de Feuerbach

El punto de Feuerbach $F$ tiene varias caracterizaciones equivalentes:

(1) Es el único punto de la incircunferencia que pertenece a la circunferencia de los nueve puntos (en la intersección tangencial de ambas).

(2) Coordenadas baricéntricas: $F = (a(b-c)^2 : b(c-a)^2 : c(a-b)^2)$ (relativas a $\triangle ABC$).

(3) $F$ es el anticomplemento del punto de Mittenput (el punto donde la línea de los puntos medios de las tangencias toca a la incircunferencia). Esta caracterización involucra transformaciones del plano que son propias del nivel 3.

(4) Si el triángulo es equilátero, $\omega$ y $\mathcal{N}$ son concéntricas (ambos centros coinciden con el baricentro), así la "tangencia" es degenera. El teorema de Feuerbach se aplica a triángulos escalenos o al menos no equiláteros.

La existencia del punto de Feuerbach es un resultado que conecta todas las herramientas del Capítulo 1 (potencia de un punto), el Capítulo 2 (inversión) y este Capítulo 3 (incircunferencia, exinscriptas, circunferencia de los nueve puntos). Es el ejemplo paradigmático de la geometría olímpica de nivel 2: simple de enunciar, profundo de demostrar, y útil en muchos problemas.