Circuncircunferencia: ortocentro, circuncentro y la relación OG

El circuncentro y el circunradio

La circuncircunferencia $\Omega$ del triángulo $ABC$ es la circunferencia que pasa por los tres vértices. Su centro es el circuncentro $O$ (intersección de las mediatrices de los lados) y su radio es el circunradio $R$.

La fórmula más importante del circunradio es la ley de los senos:

Es decir, $R = a/(2\sin A) = b/(2\sin B) = c/(2\sin C)$. Esta fórmula conecta el circunradio con los ángulos del triángulo y es la herramienta básica para calcular $R$.

Otra fórmula útil: $R = abc / (4[ABC])$, donde $[ABC]$ es el área del triángulo. Combinando con $[ABC] = rs$, obtenemos $R = abc / (4rs)$.

El circuncentro $O$ está dentro del triángulo si y solo si $\triangle ABC$ es acutángulo; en el caso obtusángulo, $O$ está fuera del triángulo, del lado del vértice obtuso.

El ortocentro y sus propiedades

El ortocentro $H$ es el punto de concurrencia de las tres alturas del triángulo. Su existencia se demuestra por la concurrencia de las tres rectas perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos.

Propiedad clave: el arco $BC$ (sin $A$) de $\Omega$ subtiende en el centro un ángulo $2A$. El punto antipodal de $A$ en $\Omega$ (el punto diametralmente opuesto a $A$) es el reflejo de $H$ sobre el punto medio de $BC$. Esta propiedad implica que la reflexión del ortocentro sobre cualquier lado del triángulo cae sobre la circuncircunferencia.

Propiedad de ángulos del ortocentro: $\angle BHC = 180° - A$, $\angle CHA = 180° - B$, $\angle AHB = 180° - C$. Se demuestra observando que $BDHF$ es un cuadrilátero cíclico (donde $D$, $F$ son los pies de las alturas desde $B$ y $C$), y usando ángulos inscritos.

Otra formulación: si $A'$ es el antipodal de $A$ en $\Omega$, entonces $HA' = 2 OM_A$ donde $M_A$ es el punto medio de $BC$. Esto se ve porque la homotecia de centro $G$ y razón $-1/2$ lleva $A$ a $M_A$ y lleva $H$ a la imagen de $H$ bajo la homotecia, que resulta ser $O$. Este es el argumento central de la recta de Euler.

La recta de Euler y la relación OG = GH/2

El baricentro $G$ es la intersección de las tres medianas y divide cada mediana en razón $2:1$ desde el vértice.

Teorema de Euler. El circuncentro $O$, el baricentro $G$ y el ortocentro $H$ son colineales (están en la recta de Euler), con la relación:

Es decir, $G$ divide al segmento $OH$ en razón $1:2$ desde $O$. En otras palabras, $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$, o equivalentemente $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$.

Demostración. La homotecia $h$ con centro $G$ y razón $-1/2$ lleva $A \to M_A$, $B \to M_B$, $C \to M_C$ (los puntos medios). La circuncircunferencia $\Omega$ (de centro $O$ y radio $R$) se transforma bajo $h$ en la circuncircunferencia del triángulo medial (de radio $R/2$), que es la circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$. El centro $O$ va a $h(O)$. Pero el centro de $\mathcal{N}$ es el punto $N_9$ y también es conocido que $N_9 =$ punto medio de $OH$. Luego $h(O) = N_9 =$ punto medio de $OH$. La homotecia tiene la forma $h(P) = G + (-1/2)(P - G) = -P/2 + 3G/2$. Entonces $h(O) = -O/2 + 3G/2$. Igualando con el punto medio de $OH$: $-O/2 + 3G/2 = (O+H)/2$, lo que da $3G = 2O + H$, es decir $\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{OH}$.

Fórmula de Euler: OI² = R² − 2Rr

La distancia entre el circuncentro $O$ y el incentro $I$ satisface la famosa fórmula de Euler:

Demostración clásica (usando la circunferencia): sea $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Entonces $M$ es el punto de la circuncircunferencia equidistante de $B$ y $C$ sobre el arco, y $MI = MB = MC$ (pues $M$ equidista de $B$ y $C$ y la bisectriz de $\angle A$ pasa por $M$).

En el triángulo $BIM$: $\angle IBM = \angle IBC + \angle CBM = B/2 + B/2 = B$ (ya que $\angle CBM$ es la mitad del arco $BC$, igual a $B$, y $\angle IBC = B/2$). Luego por la ley de senos en el triángulo $BIM$: $IM / \sin B = BM / \sin(\angle BIM)$. Pero $\angle BIM = \angle BIB_{\rm tangente} =$ (cálculo con bisectrices)...

La demostración más limpia es: $IM = 2R\sin(A/2)$ (ya que $M$ es el punto medio del arco $BC$ sin $A$, así el arco $BM$ subtiende $A/2$ en el centro). Y $IA = r/\sin(A/2)$. La potencia de $I$ respecto de $\Omega$ es $OI^2 - R^2 =$ (potencia de $I$). La potencia de $I$ respecto de $\Omega$ también es $-IA \cdot IA'$ donde $A'$ es el segundo punto de intersección de la recta $AI$ con $\Omega$ (que es el punto $M$). Entonces potencia $= -IA \cdot IM = -(r/\sin(A/2)) \cdot 2R\sin(A/2) = -2Rr$. Luego $OI^2 - R^2 = -2Rr$, de donde $OI^2 = R^2 - 2Rr$.

La fórmula $OI^2 = R^2 - 2Rr$ implica $R \ge 2r$ (desigualdad de Euler), con igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.

Aplicaciones olímpicas del ortocentro y la recta de Euler

La reflexión del ortocentro sobre los lados del triángulo cae sobre la circuncircunferencia. Formalmente: si $H_A'$ es el reflejo de $H$ sobre el punto medio de $BC$, entonces $H_A' \in \Omega$. Además, $AH_A'$ es un diámetro de $\Omega$. Consecuencia: en un triángulo acutángulo, el triángulo órtico $H_A H_B H_C$ (formado por los pies de las alturas) tiene a $H$ como su incentro.

El punto antipodal de $A$ en $\Omega$ (llamado $A^*$) satisface $A^* H \perp BC$ y $A^* H = |BC| \cdot |\cot A|$... Más precisamente, $\overrightarrow{HA^*} = 2\overrightarrow{OM_A}$.

En la persecución de ángulos (técnica central del nivel Iberoamericano), el ortocentro aparece porque $\angle BHC = 180° - A$ se opone al ángulo $\angle BAC = A$ inscrito en $\Omega$. Esto hace que $H$ sea concíclico con muchos cuartetos de puntos en los problemas.

Ejemplo de aplicación. Si $P$ es cualquier punto de $\Omega$, entonces la reflexión de $P$ sobre la recta $BC$ está en la circunferencia de los nueve puntos si y solo si $P = A$ o $P = A^*$. Esta configuración aparece en problemas de la Iberoamericana y el Cono Sur como punto de partida para demostraciones de conciclidaridad.