Homotecia entre circunferencias y el eje de similitud

La homotecia como transformación del plano

Una homotecia (o homotecia central) de centro $O$ y razón $k \ne 0$ es la transformación $h_{O,k}$ que lleva cada punto $P$ al punto $P'$ tal que $\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}$. Si $k > 0$ la imagen queda del mismo lado de $O$ que el original; si $k < 0$, del lado opuesto.

Propiedades esenciales: (1) la homotecia lleva rectas a rectas paralelas (o a la misma recta si pasa por $O$); (2) lleva circunferencias a circunferencias, preservando ángulos (es una transformación conforme); (3) las longitudes se multiplican por $|k|$ y las áreas por $k^2$; (4) la composición de dos homotecias de razones $k_1$ y $k_2$ con centros distintos $O_1$ y $O_2$ es, si $k_1 k_2 \ne 1$, una homotecia de razón $k_1 k_2$.

La homotecia de razón $-1$ centrada en $O$ es la simetría central respecto de $O$: lleva $P$ al punto diametralmente opuesto a $P$ con respecto a $O$. La homotecia de razón $1$ es la identidad.

Para los problemas olímpicos, la propiedad más útil es que si dos figuras son homotéticas (una es imagen de la otra bajo alguna homotecia), entonces las rectas que unen puntos correspondientes son concurrentes en el centro de homotecia.

Centros de similitud de dos circunferencias

Dadas dos circunferencias $\omega_1$ (centro $O_1$, radio $r_1$) y $\omega_2$ (centro $O_2$, radio $r_2$) con $r_1 \ne r_2$, existen exactamente dos homotecias que llevan $\omega_1$ a $\omega_2$: una de razón $k = r_2/r_1$ y otra de razón $k = -r_2/r_1$.

El centro de la homotecia de razón positiva $k = r_2/r_1$ se llama centro de similitud externo $S_e$. Está sobre la recta $O_1 O_2$, del lado de $O_2$ respecto de $O_1$ si $r_2 > r_1$, y divide el segmento $O_1 O_2$ externamente en razón $r_1 : r_2$. Fórmula: $S_e = \frac{r_2 O_1 - r_1 O_2}{r_2 - r_1}$ (cuando $r_1 \ne r_2$).

El centro de la homotecia de razón negativa $k = -r_2/r_1$ se llama centro de similitud interno $S_i$. Está sobre el segmento $O_1 O_2$ y lo divide internamente en razón $r_1 : r_2$. Fórmula: $S_i = \frac{r_2 O_1 + r_1 O_2}{r_2 + r_1}$.

Interpretación geométrica: $S_e$ es el punto donde se cortan las tangentes externas comunes a las dos circunferencias (las que no pasan entre ellas). $S_i$ es el punto donde se cortan las tangentes internas comunes (las que pasan entre las circunferencias). Si $r_1 = r_2$ los centros son iguales (circunferencias congruentes): el "centro externo" se va al infinito (tangentes externas son paralelas) y el interno es el punto medio de $O_1 O_2$.

Tangentes comunes y los centros de similitud

Las tangentes externas comunes a $\omega_1$ y $\omega_2$ pasan por el centro de similitud externo $S_e$. En general, si las circunferencias son externas entre sí o una contiene a la otra (sin intersectarse), hay cuatro tangentes comunes: dos externas (por $S_e$) y dos internas (por $S_i$). Si se intersectan, solo hay dos tangentes comunes (las externas, por $S_e$); si una es internamente tangente a la otra, $S_i$ coincide con el punto de tangencia.

Caso especial importante: si $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes externamente en el punto $T$, entonces $T$ es el centro de similitud interno $S_i$ (la homotecia de razón $-r_2/r_1$ centrada en $T$ lleva $\omega_1$ a $\omega_2$). Si son tangentes internamente, el punto de tangencia $T$ es el centro de similitud externo $S_e$ (la homotecia de razón $+r_2/r_1$ centrada en $T$ lleva $\omega_1$ a $\omega_2$).

Esta observación tiene consecuencias profundas en el Teorema de Monge y en los problemas de tangencias. En particular, si una tercera circunferencia $\omega_3$ es tangente a $\omega_1$ y $\omega_2$, los puntos de tangencia son colineales con $S_e$ o $S_i$ según el tipo de tangencia (teorema de Monge-d'Alembert).

El teorema de Monge: el eje de similitud

Teorema de Monge (1746). Dadas tres circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ con centros no colineales, los tres centros de similitud externos $S_{12}$, $S_{13}$, $S_{23}$ son colineales. La recta que los contiene se llama el eje de similitud externo (o eje de Monge) de las tres circunferencias.

Además, cada uno de los tres centros de similitud internos es colineal con los otros dos centros de similitud externos del par complementario. En total hay cuatro ejes de similitud: el externo (tres centros externos) y tres mixtos (cada uno con un centro interno y dos externos).

Demostración del teorema de Monge: por la propiedad de composición de homotecias, la composición $h_{23} \circ h_{12}$ (homotecia de $\omega_1$ a $\omega_2$ seguida de la de $\omega_2$ a $\omega_3$) es una homotecia de $\omega_1$ a $\omega_3$. El centro de esta composición está en la recta $O_1 O_3$ (como centro de homotecia de $\omega_1$ a $\omega_3$), pero también es el centro de similitud de $\omega_1$ y $\omega_3$. Como la composición de dos homotecias con centros $S_{12}$ y $S_{23}$ produce una homotecia cuyo centro está en la recta $S_{12} S_{23}$, y este centro también es $S_{13}$, los tres puntos son colineales.

Aplicación olímpica inmediata: en un problema donde hay tres circunferencias con relaciones de tangencia, el teorema de Monge garantiza que ciertos puntos de tangencia son colineales. Reconocer esta configuración es la clave para resolver problemas de nivel Iberoamericano que de otra forma parecen intratables.

Aplicaciones olímpicas: el lema de los puntos de tangencia colineales

Una de las aplicaciones más frecuentes del teorema de Monge en olimpiadas es el siguiente lema:

Lema (Monge-d'Alembert). Sea $\omega$ una circunferencia tangente externamente a $\omega_1$ en $T_1$ y a $\omega_2$ en $T_2$. Sea $S_e$ el centro de similitud externo de $\omega_1$ y $\omega_2$. Entonces $S_e$, $T_1$, $T_2$ son colineales.

Demostración: la homotecia de centro $T_1$ y razón $-r_1/r$ lleva $\omega$ a $\omega_1$ (tangencia externa: el centro de homotecia es el punto de tangencia, con razón negativa). La homotecia de centro $T_2$ y razón $-r_2/r$ lleva $\omega$ a $\omega_2$. La composición de estas dos homotecias es una homotecia de $\omega_1$ a $\omega_2$ cuyo centro, por la propiedad de composición, está en la recta $T_1 T_2$. Pero el único centro de homotecia de $\omega_1$ a $\omega_2$ con razón positiva ($(-r_1/r) \cdot (-r_2/r) = r_1 r_2/r^2 > 0$) es $S_e$. Luego $S_e \in T_1 T_2$.

Este lema aparece en forma velada en muchos problemas olímpicos: "Demuestra que la recta que une los puntos de tangencia de la incircunferencia y la exinscrita con el lado $BC$ pasa por cierto punto notable." Reconocer que ese punto notable es un centro de similitud de las dos circunferencias es el paso clave.

La versión análoga para tangencias internas también vale (con el centro de similitud interno $S_i$). Y si una circunferencia es tangente externamente a una e internamente a la otra, los tres puntos (tangencia externa, tangencia interna, $S_i$) son colineales.

Síntesis y técnicas para la competencia

Las herramientas de esta lección que más aparecen en problemas del nivel Iberoamericano/Cono Sur son:

(1) Identificar los centros de similitud: dados dos círculos con tangentes comunes, los puntos de corte de las tangentes externas e internas son $S_e$ y $S_i$. Siempre calcular su posición exacta antes de buscar colinealidades.

(2) Teorema de Monge: tres circunferencias $\to$ tres centros externos colineales. Si el problema menciona tres circunferencias y pide demostrar que ciertos puntos son colineales, el eje de Monge es el primer candidato.

(3) Monge-d'Alembert: si una circunferencia es tangente a otras dos, los puntos de tangencia y el centro de similitud del par son colineales. Útil en problemas de la Iberoamericana con incircunferencias, exinscriptas y circuncircunferencia.

(4) Composición de homotecias: la composición de dos homotecias es otra homotecia (si el producto de razones $\ne 1$) o una traslación (si = 1). El centro de la homotecia compuesta está en la recta que une los dos centros originales.

En la siguiente lección extendemos estas ideas a la espiral de semejanza, que combina homotecia con rotación y es la herramienta definitiva para problemas de semejanza en configuraciones cíclicas.