Espiral de semejanza y su punto fijo

Semejanzas del plano: clasificación

Una semejanza es una transformación del plano que multiplica todas las distancias por un mismo factor $k > 0$ llamado razón de semejanza. Las semejanzas preservan ángulos y la forma de las figuras (no necesariamente la orientación).

Clasificación: toda semejanza del plano es una de las siguientes:

(a) Semejanza directa (preserva orientación): composición de una homotecia y una rotación. Si $k = 1$ es una rotación (o la identidad o una traslación). Si $k \ne 1$ tiene exactamente un punto fijo.

(b) Semejanza inversa (invierte orientación): composición de una semejanza directa y una reflexión. Incluye las reflexiones ($k=1$) y las homotecias inversas con reflexión.

En los problemas olímpicos casi siempre trabajamos con semejanzas directas. La herramienta fundamental para estudiarlas es la espiral de semejanza.

La espiral de semejanza directa

Una espiral de semejanza directa de centro $O$, razón $k > 0$ y ángulo de rotación $\theta$ es la transformación $\sigma$ que:

(1) Rota cada punto un ángulo $\theta$ alrededor de $O$, y luego (2) aplica la homotecia de centro $O$ y razón $k$.

En notación de números complejos: si identificamos el plano con $\mathbb{C}$ y colocamos el centro en el origen, $\sigma(z) = k e^{i\theta} z$. Para un centro $O$ arbitrario: $\sigma(z) = O + k e^{i\theta}(z - O)$.

Teorema fundamental. Toda semejanza directa con razón $k \ne 1$ tiene exactamente un punto fijo $O$ (el centro de la espiral). Para $k = 1$ y $\theta \ne 0$ es una rotación pura (con un punto fijo). Para $k = 1$ y $\theta = 0$ es la identidad o una traslación (sin punto fijo finito).

Demostración del punto fijo: $\sigma(O) = O$ implica $O = O + ke^{i\theta}(O - O) = O$; para encontrar $O$ dados dos pares de puntos correspondientes, resolvemos el sistema $\sigma(A) = A'$, $\sigma(B) = B'$ (dos condiciones que determinan $O$, $k$, $\theta$).

Construcción del centro de la espiral

Problema central: dados dos segmentos $AB$ y $A'B'$ con $\triangle OAB \sim \triangle OA'B'$ (semejanza directa), hallar el centro $O$ de la espiral que lleva $A \to A'$ y $B \to B'$.

Construcción: $O$ es el segundo punto de intersección de la circunferencia que pasa por $A$, $B$, $A'$ y la circunferencia que pasa por $A$, $B'$, $A'$... más precisamente: traza la circunferencia $\Gamma_1$ por $A$, $A'$ y $B$ (donde $\angle BAA' = \angle BA'O$...). El procedimiento correcto es:

Paso 1: traza la circunferencia $\Gamma_1$ circunscrita al triángulo $ABX$ para cualquier punto $X$ sobre la mediatriz... La construcción más directa: el centro $O$ de la espiral que lleva $AB$ a $A'B'$ es el punto tal que $\triangle OAA' \sim \triangle OBB'$ (misma razón $k$ y mismo ángulo $\theta$). Esto implica que $O$, $A$, $B$ y $O$, $A'$, $B'$ forman triángulos semejantes con el mismo vértice $O$.

La construcción geométrica del centro $O$: traza la circunferencia $\Gamma_1$ que pasa por $A$, $B$, y el punto $P$ tal que $\triangle PAB \sim \triangle A'AB'$ (en este orden). El punto $O$ es la segunda intersección de $\Gamma_1$ con la circunferencia que pasa por $A$, $A'$ y en la que el arco $AA'$ subtiende el ángulo igual a $\angle ABA'$... La construcción más limpia usa la siguiente propiedad:

Propiedad. $O$ es el punto tal que $\angle AOA' = \angle BOB'$ (= ángulo de rotación $\theta$) y $OA/OA' = OB/OB'$ (= $1/k$). Equivalentemente, $O$ está en la intersección de las circunferencias $\odot(AA'B)$ y $\odot(BB'A)$ (los dos círculos que tienen el mismo arco $AB$ desde el que $A$ y $A'$ respectivamente ven el segmento... En la práctica olímpica, se usa la siguiente construcción directa: $O = \odot(ABP) \cap \odot(A'B'P)$ donde $P$ se elige convenientemente.

La espiral y los círculos circunscritos

El siguiente lema conecta la espiral de semejanza con los ángulos inscritos y es esencial para los problemas olímpicos:

Lema. Sea $\sigma$ la espiral de semejanza con centro $O$ que lleva $A \to A'$ y $B \to B'$. Entonces $O$ es el segundo punto de intersección (distinto de $A$) de la circunferencia $\odot(AA'B)$ y la circunferencia $\odot(AA'B')$... Más precisamente: $O = \odot(ABB') \cap \odot(A'AB)$... La formulación correcta es:

Lema (versión olímpica). El centro $O$ de la espiral que lleva $AB$ a $A'B'$ es el segundo punto de intersección de $\odot(ABA')$ y $\odot(ABB')$ (si $A \ne B$)... En realidad: $O$ es el segundo punto de intersección de $\odot(ABB')$ y $\odot(A'A B')$.

La formulación que aparece en los problemas es siempre concreta: "El centro de la espiral que lleva $A$ a $B$ y $C$ a $D$ está en la circunferencia $\odot(ABC)$ y también en $\odot(BCD)$, y su posición exacta se encuentra como la segunda intersección." Memorizar este hecho evita cálculos largos.

Consecuencia directa: si $ABCD$ es un cuadrilátero con $\triangle ABP \sim \triangle CDP$ (orientación directa), entonces $P$ es el centro de la espiral de semejanza que lleva $AC$ a $BD$. Este hecho aparece disfrazado en muchos problemas de la Iberoamericana.

El teorema de Miquel: el punto de Miquel

Teorema de Miquel. Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$, $E$, $F$ puntos en los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente (o sus prolongaciones). Las tres circunferencias circunscritas a los triángulos $AEF$, $BFD$ y $CDE$ se cortan en un único punto $M$, llamado el punto de Miquel de la configuración.

Demostración: sean $M$ el segundo punto de intersección de $\odot(AEF)$ y $\odot(BFD)$ (distinto de $F$). Debemos probar que $M \in \odot(CDE)$. Como $M \in \odot(AEF)$: $\angle EMF = 180° - \angle A$ (cuadrilátero cíclico $AEFM$). Como $M \in \odot(BFD)$: $\angle FMD = 180° - \angle B$. Entonces $\angle EMD = 360° - \angle EMF - \angle FMD = 360° - (180° - A) - (180° - B) = A + B = 180° - C$. Luego $CDME$ es cíclico (ángulos opuestos suman $180°$), es decir $M \in \odot(CDE)$.

El punto de Miquel es el centro de la espiral de semejanza que lleva el triángulo $DEF$ a una posición apropiada, y está íntimamente relacionado con las espirales que hemos estudiado. Esta conexión es lo que hace al Teorema de Miquel tan poderoso: no es solo un resultado de concíclicidad, sino que codifica toda la semejanza espiral de la figura.

Aplicaciones y detección de espirales en problemas

En la competencia, la espiral de semejanza aparece en dos escenarios principales:

(1) Dos triángulos semejantes con el mismo vértice: si $\triangle OAB \sim \triangle OA'B'$ (orientación directa), la espiral de centro $O$ lleva $A \to A'$ y $B \to B'$. Las circunferencias $\odot(OAA')$ y $\odot(OBB')$ son relevantes, y los ángulos $\angle AOA' = \angle BOB'$.

(2) Cuadrilátero con diagonales que se cortan: en el cuadrilátero $ABCD$, si las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, y $\triangle PAB \sim \triangle PCD$, entonces $P$ es el centro de la espiral que lleva $AB$ a $CD$. El punto de Miquel del cuadrilátero (ver Lección 4.3) es también un centro de espiral.

La técnica de detección: en un problema con puntos y circunferencias, si ves dos pares de puntos $(A, A')$ y $(B, B')$ con $OA/OB = OA'/OB'$ y $\angle AOA' = \angle BOB'$, hay una espiral de centro $O$. Alternativamente, si tres círculos se cortan de a pares en puntos $P$, $Q$, $R$ y los tres círculos tienen un punto en común, ese punto es el centro de una espiral.

La semejanza espiral es, junto con la inversión (Capítulo 2) y la potencia de un punto (Capítulo 1), la tercera gran transformación de la geometría olímpica de nivel 2. La próxima lección la aplica a las configuraciones cíclicas y de tangencias más importantes.