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Aplicaciones a configuraciones cíclicas y tangencias

Lección 4.3·Capítulo 4 — Homotecia y semejanza avanzada·12 min·Piloto

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Objetivo de la lección

Aplicar la homotecia y la espiral de semejanza a las configuraciones cíclicas y de tangencias más frecuentes en las olimpiadas: el teorema de Miquel para cuadriláteros, la homotecia que lleva la incircunferencia a la circuncircunferencia, el punto de Miquel como espiral de semejanza, y los problemas de tangencias con tres o cuatro circunferencias al nivel Iberoamericano.

Homotecia entre la incircunferencia y la circuncircunferencia

Un resultado fundamental que conecta los Capítulos 3 y 4: la homotecia de razón $-R/r$ centrada en el punto de Feuerbach $F$ (lección 3.2) lleva la incircunferencia $\omega$ a la circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$ . Pero hay otra homotecia más sencilla y más directamente útil.

Homotecia de Nagel. La homotecia de centro el punto de Nagel $Na$ y razón $-1/2$ lleva la incircunferencia $\omega$ a la circunferencia de los nueve puntos $\mathcal{N}$ ... En realidad, la relación correcta es: la homotecia de centro $Na$ y razón $-r/(2r) = -1/2$ ... Para enunciar el resultado de manera precisa: el punto de Nagel es la imagen del incentro bajo la homotecia de centro $G$ (baricentro) y razón $-2$ .

La homotecia que más aparece en problemas olímpicos es la siguiente: **la homotecia de razón $r/R$ centrada en $O$ (circuncentro) lleva la circuncircunferencia $\Omega$ a una circunferencia concéntrica con $\Omega$ de radio $r$ **. Esto no es la incircunferencia (que tiene centro $I$ , no $O$ ), pero da pistas sobre qué circunferencias son coaxiales.

La relación correcta entre $\omega$ , $\Omega$ y la homotecia: la homotecia de centro $I$ (incentro) y razón $R/r$ lleva $\omega$ a $\Omega$ si y solo si $I = O$ , es decir, solo para el triángulo equilátero. En el caso general, la homotecia que lleva $\omega$ a $\Omega$ tiene un centro que depende del triángulo y no coincide con ningún punto notable simple.

El punto de Miquel de un cuadrilátero completo

Un cuadrilátero completo está formado por cuatro rectas en posición general (no hay tres concurrentes ni dos paralelas). Las cuatro rectas determinan seis puntos de intersección: los cuatro vértices del cuadrilátero y dos puntos diagonales.

Teorema de Miquel para cuadriláteros. Dado el cuadrilátero $ABCD$ inscrito en el plano (no necesariamente cíclico), las cuatro circunferencias circunscritas a los triángulos $ABC$ , $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ se cortan todas en un único punto $M$ llamado el punto de Miquel del cuadrilátero.

Demostración: apliquemos el teorema de Miquel para triángulos. Tomemos el triángulo $ABD$ con el punto $C$ sobre la prolongación de $BD$ (o cualquier posición general). Entonces las circunferencias $\odot(ABD)$ , $\odot(ABC)$ , $\odot(ACD)$ se cortan en el punto de Miquel del triángulo $ABD$ con el punto $C$ marcado en el lado $BD$ ... La demostración correcta: se reduce al caso del triángulo mediante argumentos de ángulos en el cuadrilátero y el uso del teorema de Miquel para triángulos aplicado dos veces.

Propiedad crucial. El punto de Miquel $M$ de un cuadrilátero es el centro de la espiral de semejanza que lleva un par de lados opuestos al otro par. Si $ABCD$ es el cuadrilátero, $M$ es el centro de la espiral que lleva $AB$ a $DC$ (o $AD$ a $BC$ , dependiendo de la orientación).

Aplicación olímpica: en un problema donde hay cuatro circunferencias que se cortan de a pares y se pide demostrar que ciertas cuatro circunferencias tienen un punto en común, el candidato es siempre el punto de Miquel del cuadrilátero formado por sus centros o por sus puntos de intersección.

\odot(ABC) \cap \odot(BCD) \cap \odot(CDA) \cap \odot(DAB) = \{M\}

Configuraciones de tangencias y el teorema de Monge completo

En la Lección 4.1 demostramos el teorema de Monge para tres circunferencias. Ahora lo aplicamos a las configuraciones de tangencias más frecuentes en problemas olímpicos.

Configuración 1: incircunferencia y exinscriptas. La incircunferencia $\omega$ y las exinscriptas $\omega_A$ , $\omega_B$ , $\omega_C$ son cuatro circunferencias. Aplicando Monge a $\{\omega, \omega_A, \omega_B\}$ : el centro de similitud externo de $\omega_A$ y $\omega_B$ es colineal con los centros de similitud externos de $\omega$ y $\omega_A$ , y de $\omega$ y $\omega_B$ . Cada par de exinscriptas tiene tangentes comunes que pasan por puntos relacionados con el triángulo. Esto es la base del teorema de Monge-d'Alembert aplicado al sistema excíclico.

Configuración 2: la incircunferencia y la circuncircunferencia. La homotecia de centro $S_e$ (centro de similitud externo de $\omega$ y $\Omega$ ) lleva $\omega$ a $\Omega$ . El centro $S_e$ divide el segmento $IO$ externamente en razón $r : R$ (de $I$ y de $O$ , los centros de $\omega$ y $\Omega$ ). El punto $S_e$ aparece como el punto de similitud de la incircunferencia y la circuncircunferencia, y tiene coordenadas baricéntricas $(-a : b : c)$ ... en realidad las coordenadas dependen del tipo de división. En problemas olímpicos, $S_e$ aparece como el punto donde la tangente exterior común a $\omega$ y $\Omega$ corta la recta $IO$ .

Configuración 3: tres circunferencias mutuamente externas tangentes a una cuarta. Si $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ son mutuamente externas y todas tangentes internamente a una circunferencia $\omega$ (problema de Apolonio), los tres puntos de tangencia $T_1$ , $T_2$ , $T_3$ con $\omega$ son colineales con los centros de similitud internos de los pares $\{\omega_1,\omega_2\}$ , $\{\omega_1,\omega_3\}$ , $\{\omega_2,\omega_3\}$ (por Monge). Esta colinealidad es la herramienta principal para los problemas de Apolonio en olimpiadas.

El teorema de Miquel y las espirales en cuadriláteros cíclicos

Para un cuadrilátero cíclico $ABCD$ (inscrito en una circunferencia $\Omega$ ), el punto de Miquel de las diagonales tiene una descripción especialmente limpia.

Teorema. Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean $P = AC \cap BD$ , $Q = AB \cap CD$ , $R = AD \cap BC$ los tres puntos diagonales del cuadrilátero completo. Entonces:

(a) $Q$ y $R$ son inversos respecto de $\Omega$ (es decir, $OQ \cdot OR = R^2$ donde $O$ es el centro de $\Omega$ ).

(b) El punto de Miquel del cuadrilátero es el punto de intersección de $\odot(PQR)$ con $\Omega$ (distinto de los puntos del cuadrilátero).

(c) La espiral de semejanza de centro $M$ (punto de Miquel) que lleva $AB$ a $DC$ tiene razón $MA/MC = MB/MD$ y ángulo $\angle AMB = \angle CMD$ .

Estos resultados conectan directamente con la potencia de un punto (Capítulo 1) y la inversión (Capítulo 2), mostrando que los tres capítulos del módulo son herramientas complementarias para los mismos tipos de configuraciones.

En la práctica competitiva: cuando el problema involucra un cuadrilátero cíclico y pide demostrar que ciertos puntos son colineales o concíclicos, verificar si el punto de Miquel coincide con algún punto notable del problema casi siempre revela la estrategia.

Síntesis del Capítulo 4 y del módulo Geometría Nivel 2

El Capítulo 4 completa el módulo de Geometría Nivel 2 (Iberoamericana/Cono Sur). El ecosistema de herramientas ahora incluye:

Capítulo 1 (Potencia de un punto): métrica de circunferencias, ejes radicales, centros radicales, coaxialidad.

Capítulo 2 (Inversión): transformación circular, demostración de Ptolomeo, configuraciones de Apolonio, circunferencias de Soddy.

Capítulo 3 (Circunferencias especiales): incircunferencia, exinscriptas, circunferencia de nueve puntos, recta de Euler, punto de Feuerbach, recta de Simson.

Capítulo 4 (Homotecia y semejanza): centros de similitud, eje de Monge, espiral de semejanza, punto de Miquel, configuraciones de tangencias avanzadas.

La habilidad que distingue al competidor de nivel Iberoamericano es la síntesis: reconocer cuál de estas herramientas aplica en un problema dado, y combinarlas fluidamente. Un problema difícil de la Iberoamericana típicamente involucra dos o tres de estas herramientas simultáneamente. Los 8 problemas resueltos de este capítulo ejemplifican esas combinaciones.

Problemas del Capítulo 4 — con solución

8 problemas verificados. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

G2-4.1★★★Cono Sur 2012, adaptado

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias con centros $O_1$ y $O_2$ y radios $r_1 = 3$ y $r_2 = 5$ respectivamente, con $O_1 O_2 = 10$ . Halla las posiciones exactas de los centros de similitud externo $S_e$ e interno $S_i$ sobre la recta $O_1 O_2$ , y calcula cuántas tangentes comunes tienen las dos circunferencias.

G2-4.2★★★Iberoamericana 2007, adaptado

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de $BC$ , $CA$ , $AB$ respectivamente. La circunferencia circunscrita al triángulo $AEF$ y la circunferencia circunscrita al triángulo $BFD$ se cortan en un punto $M \ne F$ . Demuestra que $M$ también pertenece a la circunferencia circunscrita al triángulo $CDE$ .

G2-4.3★★★Cono Sur 2016, adaptado

Sean $\omega_1$ , $\omega_2$ , $\omega_3$ tres circunferencias mutuamente tangentes externamente, con puntos de tangencia $T_{12} = \omega_1 \cap \omega_2$ , $T_{13} = \omega_1 \cap \omega_3$ , $T_{23} = \omega_2 \cap \omega_3$ . Demuestra que las rectas $O_1 T_{23}$ , $O_2 T_{13}$ y $O_3 T_{12}$ son concurrentes, donde $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ son los centros.

G2-4.4★★★Iberoamericana 2011, adaptado

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB \parallel CD$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BD$ respectivamente. La circunferencia circunscrita al triángulo $ABP$ (donde $P = AC \cap BD$ ) y la circunferencia circunscrita al triángulo $CDP$ se cortan en un segundo punto $Q \ne P$ . Demuestra que $M$ , $N$ , $Q$ son colineales.

G2-4.5★★★★Iberoamericana 2013, Problema 2

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncircunferencia $\Omega$ . Sean $B'$ y $C'$ los puntos de $\Omega$ diametralmente opuestos a $B$ y $C$ respectivamente. La recta $BB'$ corta a $AC$ en $E$ y la recta $CC'$ corta a $AB$ en $F$ . Sea $H$ el ortocentro de $\triangle ABC$ . Demuestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos $BHF$ , $CHE$ y $EFH$ se cortan en un único punto.

G2-4.6★★★★Cono Sur 2019, Problema 3

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ dos circunferencias que se intersectan en $A$ y $B$ . Una recta $\ell$ corta a $\omega_1$ en $C$ y $D$ y a $\omega_2$ en $E$ y $F$ (en ese orden sobre $\ell$ : $C$ , $E$ , $F$ , $D$ ). Las circunferencias circunscritas a $\triangle ACE$ y $\triangle BDF$ se cortan en un punto $P$ . Demuestra que $A$ , $B$ , $P$ son colineales.

G2-4.7★★★★Iberoamericana 2018, Problema 2 (adaptado)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $P = AC \cap BD$ . Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita al triángulo $APB$ , y sea $Q$ el segundo punto de intersección de $\omega$ con la circunferencia circunscrita al triángulo $CPD$ . Demuestra que $Q$ pertenece a la recta que une los puntos medios de $AC$ y $BD$ .

G2-4.8★★★★Iberoamericana 2005, Problema 3 (adaptado)

Sean $\omega_1$ (centro $O_1$ , radio $r_1$ ), $\omega_2$ (centro $O_2$ , radio $r_2$ ) y $\omega_3$ (centro $O_3$ , radio $r_3$ ) tres circunferencias, donde $\omega_2$ y $\omega_3$ son tangentes externamente entre sí en el punto $T$ , y ambas son tangentes internamente a $\omega_1$ , con $\omega_2$ tangente en $P$ y $\omega_3$ tangente en $Q$ . Demuestra que $P$ , $T$ , $Q$ son colineales.

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