Lugares geométricos clásicos: ángulo constante, potencia constante

Qué es un lugar geométrico y cómo se demuestra

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que satisfacen una propiedad dada. Para demostrar que un lugar geométrico es la curva $\mathcal{C}$, se necesitan demostrar dos inclusiones: (1) todo punto que satisface la propiedad pertenece a $\mathcal{C}$, y (2) todo punto de $\mathcal{C}$ satisface la propiedad. En problemas olímpicos, una de las dos inclusiones suele ser más fácil y la otra requiere el argumento central.

Los lugares geométricos más frecuentes en olimpiadas son: la mediatriz (equidistancia a dos puntos), la bisectriz (equidistancia a dos rectas), el arco capaz (ángulo constante), el círculo de Apolonio (razón de distancias constante), y el eje radical de dos circunferencias (potencias iguales). Los dos primeros se ven en nivel 1; los tres últimos son el núcleo de este capítulo.

La estrategia general en un problema que pide demostrar que ciertos puntos son concíclicos: encontrar cuál es el círculo (su centro y radio, o tres puntos que lo determinan), verificar que todos los puntos del enunciado satisfacen la misma propiedad angular o de potencia, y concluir que todos están en ese círculo.

El arco capaz: lugar geométrico del ángulo inscrito constante

Teorema del arco capaz. Dado un segmento $AB$ y un ángulo $\alpha$ con $0° < \alpha < 180°$, el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $\angle APB = \alpha$ está formado por dos arcos de circunferencias: el arco capaz mayor o menor de $\angle \alpha$ sobre $AB$.

Más precisamente: existe una única circunferencia $\Gamma$ que pasa por $A$ y $B$ y en la que el ángulo inscrito sobre el arco que no contiene a los puntos del lugar es igual a $180° - \alpha$. El arco capaz (el que sí contiene los puntos buscados) es el arco de $\Gamma$ en el que el ángulo inscrito es $\alpha$. El arco capaz del ángulo suplementario $180° - \alpha$ es el arco simétrico (el otro arco de $\Gamma$).

Consecuencia directa del teorema del ángulo inscrito: si $P$, $Q$ son dos puntos con $\angle APB = \angle AQB = \alpha$, entonces $A$, $P$, $Q$, $B$ son concíclicos (todos en el arco capaz). Esta es la herramienta básica para demostrar concíclicidad en olimpiadas.

Caso límite importante: $\alpha = 90°$. El lugar geométrico de los puntos desde los que $AB$ se ve en ángulo recto es la circunferencia de diámetro $AB$. Esto es el recíproco del teorema de Tales. En problemas olímpicos, si en la figura aparece un ángulo recto y un segmento como diámetro posible, siempre verificar si los puntos relevantes están en esa circunferencia.

El arco capaz y los ángulos orientados

Para usar el arco capaz en persecuciones de ángulos (angle chasing), es conveniente trabajar con **ángulos orientados módulo $180°$**, notados $\measuredangle$. En este sistema, $\measuredangle(PA, PB)$ es el ángulo orientado desde la recta $PA$ hasta la recta $PB$, y satisface $\measuredangle(PA, PB) = \measuredangle(QA, QB)$ si y solo si $P$, $Q$, $A$, $B$ son concíclicos (o $P = Q$).

Con ángulos orientados, el criterio de concíclicidad se enuncia de forma uniforme sin necesidad de distinguir si los puntos están en el mismo arco o en arcos opuestos. Esto simplifica enormemente los argumentos: en lugar de decir "ángulos inscritos en el mismo arco" o "ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico suman $180°$", basta con la igualdad de ángulos orientados.

Técnica: en un problema con varios círculos, perseguir el ángulo $\measuredangle(XA, XB)$ para el punto $X$ que queremos probar que es concíclico con $A$, $B$ y otros puntos conocidos. Si este ángulo coincide con $\measuredangle(YA, YB)$ para un punto $Y$ ya sabido concíclico, concluimos que $X$ también está en el mismo círculo.

La persecución de ángulos es la técnica más poderosa para problemas de nivel IbAm/Cono Sur. Junto con el arco capaz, permite resolver la mayoría de los problemas de concíclicidad sin coordenadas ni trigonometría.

El círculo de Apolonio: razón de distancias constante

Círculo de Apolonio. Dados dos puntos fijos $A$ y $B$ y una razón positiva $k \ne 1$, el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que $PA/PB = k$ es una circunferencia, llamada el círculo de Apolonio de $A$, $B$ con razón $k$.

Construcción: los puntos $C$ y $D$ que dividen el segmento $AB$ interna y externamente en razón $k : 1$ están en el círculo de Apolonio (son los extremos del diámetro). El centro del círculo es el punto medio de $CD$, y el radio es $|CD|/2$. En coordenadas, si $A = 0$ y $B = 1$, el centro es $\frac{k^2}{k^2-1}$ y el radio es $\frac{k}{|k^2-1|}$.

Conexión con la inversión (Capítulo 2): el círculo de Apolonio de $A$, $B$ con razón $k$ es la imagen de $B$ bajo la inversión de centro $A$ y potencia $k^2 \cdot |AB|^2$... más precisamente, los círculos de Apolonio de $A$ y $B$ son los círculos ortogonales a todos los círculos que pasan por $A$ y $B$. Esta propiedad de ortogonalidad es la clave para los problemas que combinan Apolonio con inversión.

Caso especial $k = 1$: el lugar geométrico $PA = PB$ es la mediatriz de $AB$. Para $k \to 0$ o $k \to \infty$, el círculo de Apolonio tiende al punto $A$ o $B$ respectivamente (degenerado).

Potencia constante: el eje radical revisitado

La potencia de un punto $P$ respecto de una circunferencia $\omega$ (centro $O$, radio $r$) es $\text{pow}(P, \omega) = PO^2 - r^2$. El lugar geométrico de los puntos con potencia igual a una constante $c$ respecto de $\omega$ es una circunferencia concéntrica con $\omega$ (si $c > -r^2$) o vacío (si $c < -r^2$) o el punto $O$ (si $c = -r^2$).

El lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ es el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$: una recta perpendicular a la línea de centros. Esto generaliza la mediatriz (que es el eje radical de dos circunferencias de radio cero).

Combinación eje radical y arco capaz: en muchos problemas olímpicos, la concíclicidad de cuatro puntos se demuestra en dos pasos. Primero, se identifica el eje radical de dos círculos que pasan por dos de los puntos. Luego, se argumenta que los otros dos puntos están en ese eje radical o que tienen la misma potencia respecto de los dos círculos, lo que los fuerza a estar en el tercer círculo (centro radical).

Propiedad clave: el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$ es perpendicular a $O_1 O_2$ y pasa por los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ (si se intersectan). Si $\omega_1$ y $\omega_2$ son tangentes, el eje radical es la tangente común. Si no se intersectan, el eje radical separa los dos círculos.

Estrategia: identificar el lugar geométrico en un problema olímpico

La habilidad central de este capítulo es reconocer qué lugar geométrico aparece disfrazado en el enunciado de un problema. Las pistas más frecuentes:

(1) Si el enunciado menciona que un ángulo es constante o que dos ángulos inscritos son iguales, buscar el arco capaz. El paso siguiente es identificar qué circunferencia es el arco capaz y demostrar que el punto de interés está en ella.

(2) Si el enunciado menciona razones de distancias (como $PA/PB = PB/PC$ o similar), buscar el círculo de Apolonio. A veces la razón está escondida como una condición armónica o como la existencia de una homotecia.

(3) Si el enunciado menciona tangentes desde un punto externo, usar la igualdad entre las longitudes de las dos tangentes: $PT_1 = PT_2$ si $T_1$, $T_2$ son los puntos de tangencia desde $P$ a $\omega$. Esto equivale a $\text{pow}(P, \omega) = PT_1^2$, conectando tangentes con potencia.

(4) El patrón más frecuente en IbAm/Cono Sur: se pide demostrar que cuatro puntos son concíclicos. Estrategia estándar: calcular los ángulos que dos de los puntos subtienden sobre el segmento formado por los otros dos, usando propiedades angulares del triángulo, el arco capaz, y el teorema del ángulo inscrito.