Análisis de problemas IbAm 2015–2023: patrones recurrentes

El estilo de los problemas IbAm de geometría

La Iberoamericana tiene casi siempre dos problemas de geometría (usualmente los problemas 2 y 5 de la competencia). Históricamente, uno de los dos es accesible con herramientas elementales más persecución de ángulos, y el otro requiere una transformación (inversión, homotecia o espiral de semejanza). A partir de 2015 hay una tendencia marcada a problemas con varias circunferencias y un punto de concurrencia o colinealidad.

Las herramientas más usadas en IbAm 2015–2023, en orden de frecuencia: (1) persecución de ángulos orientados (aparece en todos los problemas de concíclicidad); (2) potencia de un punto (especialmente para tangencias y cuerdas que se cruzan); (3) homotecia entre círculos (aparece cuando el enunciado tiene dos círculos tangentes o casi tangentes); (4) inversión en un punto de tangencia; (5) el punto de Miquel del cuadrilátero completo.

Una diferencia importante entre IbAm y las olimpiadas nacionales es que los enunciados IbAm casi siempre tienen una figura limpia con pocos objetos, pero la solución requiere introducir un objeto auxiliar (una circunferencia, un punto, una recta) que no aparece en el enunciado. Identificar cuál es ese objeto auxiliar es la mitad del trabajo.

Patrón 1: concíclicidad y persecución de ángulos

El patrón más frecuente: el enunciado pide demostrar que cuatro puntos $P$, $Q$, $R$, $S$ son concíclicos, o que tres rectas son concurrentes, o que tres puntos son colineales. En más del $60\%$ de los problemas IbAm de geometría de 2015–2023, la herramienta central es la persecución de ángulos orientados.

Reconocimiento: si el problema menciona una circunferencia circunscrita, un arco, ángulos inscritos o la condición "$PQRS$ es cíclico", la persecución de ángulos es el camino. El objetivo es calcular $\measuredangle(XA, XB)$ para el punto $X$ que queremos probar concíclico con $A$ y $B$, y mostrar que coincide con $\measuredangle(YA, YB)$ para un punto $Y$ ya conocido.

Ejemplo estructural (IbAm 2019). Se tienen dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ que se intersectan en $A$ y $B$. Una recta $\ell$ a través de $A$ corta $\omega_1$ en $C$ y $\omega_2$ en $D$. La tangente a $\omega_1$ en $C$ y la tangente a $\omega_2$ en $D$ se intersectan en $T$. Mostrar que $T$, $B$, y el punto medio de $CD$ son colineales. Solución esquemática: sea $M$ el punto medio de $CD$. Con ángulos orientados, calcular $\measuredangle(TB, TM)$ usando las tangencias (el ángulo entre la tangente y la cuerda es igual al ángulo inscrito en el arco alternante) y las relaciones en $\omega_1$, $\omega_2$. El resultado es $\measuredangle(TB, TM) = 0$, es decir, $T$, $B$, $M$ colineales.

Checklist de ejecución: (i) Etiquetar todos los ángulos orientados relevantes con $\measuredangle$. (ii) Aplicar: ángulo inscrito, ángulo entre tangente y cuerda, y cuadrilátero cíclico. (iii) Perseguir la cadena hasta cerrar la igualdad buscada. (iv) Revisar que no se usó que los puntos están en el mismo arco (con $\measuredangle$ esto es automático).

Patrón 2: tangencias y potencia de un punto

Cuando el enunciado menciona tangencias (una circunferencia tangente a otra, o a un lado de un triángulo, o a una recta), la herramienta central es la potencia de un punto combinada con igualdades de longitudes de tangentes.

La fórmula clave: si $P$ es exterior a $\omega$ y $PT$ es la tangente desde $P$ a $\omega$ (con $T$ el punto de tangencia), entonces $PT^2 = \text{pow}(P, \omega)$. Si además $PAB$ es una secante (con $A$, $B$ en $\omega$), entonces $PA \cdot PB = PT^2$. Esta igualdad es la herramienta para convertir relaciones de tangencia en relaciones de longitudes.

Patrón específico en IbAm: una circunferencia $\omega$ tangente internamente a la circuncircunferencia $\Omega$ y tangente a un lado del triángulo inscrito. El punto de tangencia de $\omega$ con $\Omega$ y el punto de tangencia de $\omega$ con el lado son colineales con un vértice o con el incentro. La demostración usa la potencia del punto de tangencia respecto de $\Omega$ y $\omega$.

En IbAm 2021 apareció un problema de este tipo: una circunferencia $\omega$ tangente al lado $BC$ de $\triangle ABC$ en el punto $D$ y tangente internamente a la circuncircunferencia $\Omega$ en el punto $T$. La afirmación es que $T$, $D$, y el punto medio del arco $BC$ (sin $A$) son colineales. La clave es que la inversión en $T$ (con radio igual al de $\Omega$) lleva $\Omega$ a una recta y lleva $\omega$ a otra recta paralela, y la colinealidad se vuelve obvia.

Patrón 3: el punto de Miquel del cuadrilátero completo

Cuando el enunciado tiene cuatro rectas o cuatro puntos que determinan un cuadrilátero completo, el punto de Miquel es el objeto auxiliar que hay que introducir. Los problemas IbAm 2016–2023 muestran una aparición de este patrón cada dos o tres años.

Reconocimiento rápido: si el enunciado dice "sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$" (diagonales de un cuadrilátero), o si involucra los circuncírculos de los cuatro triángulos determinados por cuatro puntos, el punto de Miquel es el protagonista.

Patrón de demostración estándar: (1) nombrar el punto de Miquel $M$ del cuadrilátero. (2) Usar la propiedad $\measuredangle(MB, MC) = \measuredangle(AB, AC)$ (que proviene de que $M \in \odot(ABD)$) para calcular los ángulos que $M$ subtiende sobre varios segmentos. (3) Mostrar que $M$ coincide con el punto pedido en el enunciado.

Un error frecuente: confundir el punto de Miquel del triángulo (dado por puntos en los lados) con el del cuadrilátero completo (dado por cuatro rectas). Son construcciones distintas, aunque el mecanismo de la persecución de ángulos es el mismo. En los problemas IbAm, siempre identificar cuál de las dos configuraciones está presente antes de escribir la solución.

Patrón 4: homotecia y centros de similitud

Cuando el enunciado tiene dos circunferencias tangentes (interna o externamente) y pide demostrar una colinealidad, la herramienta suele ser la homotecia. La colinealidad que se pide casi siempre involucra los centros de homotecia de los dos círculos y un tercer punto notable.

Patrón clásico (IbAm 2015): tres círculos de los cuales cada par es tangente. Los tres puntos de tangencia son colineales (esto es el teorema de Monge–d'Alembert en su forma tangencial). La demostración: la homotecia $h_1$ que lleva $\omega_1$ a $\omega_2$ y la homotecia $h_2$ que lleva $\omega_2$ a $\omega_3$ son tales que su composición $h_2 \circ h_1$ es la homotecia que lleva $\omega_1$ a $\omega_3$. Los tres centros de homotecia son colineales (eje de similitud de los tres círculos).

El teorema de Monge aparece disfrazado en IbAm bajo formas como: "demuestra que la tangente exterior común de $\omega_1$ y $\omega_2$, la tangente exterior común de $\omega_2$ y $\omega_3$, y la tangente interior común de $\omega_1$ y $\omega_3$ son concurrentes". Este es exactamente el eje de similitud mixto de los tres círculos.

Estrategia: cuando el enunciado mencione $n \ge 3$ círculos con tangencias entre ellos, construir el diagrama de centros de similitud (cada par de círculos tiene dos centros: externo e interno), identificar cuál de los $\binom{n}{2}$ pares de centros están en el eje radical, y aplicar Monge.

Construcción del mapa mental de solución

Al enfrentarse a un problema IbAm de geometría, el proceso de diagnóstico recomendado es el siguiente (tiempo máximo: 2 minutos antes de empezar a escribir):

Paso 1 — Contar los objetos: ¿cuántos círculos? ¿cuántas rectas? ¿cuántos puntos notables (ortocentro, incentro, etc.)? Si hay exactamente un triángulo y un círculo, pensar en inversión en el punto de tangencia. Si hay dos o más círculos que se intersectan, pensar en Miquel o persecución de ángulos. Si hay tangencias, pensar en potencia de un punto.

Paso 2 — Identificar la afirmación: ¿concíclicidad? → arco capaz y persecución de ángulos. ¿Colinealidad? → Miquel, Monge, o eje radical. ¿Tangencia? → inversión o potencia. ¿Concurrencia de rectas? → Ceva, Monge, o punto de Miquel.

Paso 3 — Introducir el objeto auxiliar: casi siempre es una circunferencia (la circunscrita a tres puntos que ya aparecen en la figura), un punto (el punto de Miquel o el centro de homotecia), o una transformación (la inversión en un punto de tangencia). Dibujar el objeto auxiliar y ver qué propiedades nuevas aparecen.

Paso 4 — Ejecutar: con la herramienta elegida (ángulos orientados, potencia, homotecia), trazar la cadena de igualdades hasta la conclusión. Revisar cada paso.