Cómo escribir una solución geométrica olímpica completa

Qué busca un jurado en una solución olímpica de geometría

Un jurado de olimpiada busca una solución completa, correcta, y comprensible. Completa significa que no hay saltos lógicos: cada afirmación que no es obvia debe ser justificada. Correcta significa que no hay errores matemáticos. Comprensible significa que un lector que no conoce el problema puede seguir la solución sin dibujar la figura.

Los errores más frecuentes que cuestan puntos: (1) afirmar que cuatro puntos son concíclicos sin justificar cuál es el círculo o cuál es la igualdad de ángulos que lo demuestra; (2) usar ángulos sin especificar si son orientados o no, lo que produce argumentos que son válidos solo para una configuración y no para otras; (3) citar un teorema con el nombre equivocado o sin dar la condición que lo activa; (4) no tratar los casos degenerados (por ejemplo, si un punto coincide con otro en ciertas configuraciones).

Un buen estándar de comparación: una solución que el propio estudiante pueda leer seis meses después y entender completamente, sin recordar los detalles del problema.

Estructura recomendada de una solución de geometría

La estructura estándar de una solución geométrica olímpica tiene cuatro partes:

(1) Configuración y objetos auxiliares. Enunciar qué objetos se van a introducir: "Sea $M$ el punto de Miquel del cuadrilátero $ABCD$", "Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita a $\triangle PQR$", "Consideremos la inversión $\iota$ de centro $T$ y radio $r$". Esta parte debe ser breve (una o dos oraciones) pero precisa: el lector debe saber exactamente qué objeto es $M$, $\omega$, o $\iota$ antes de que se use.

(2) Propiedades de los objetos auxiliares. Demostrar (o citar si son resultados estándar) las propiedades de los objetos introducidos. Esta es la parte más larga. Cada afirmación debe tener una justificación: "Como $M \in \odot(ABD)$, los puntos $A$, $B$, $D$, $M$ son concíclicos y $\measuredangle(MA, MD) = \measuredangle(BA, BD)$ (ángulo inscrito en $\odot(ABD)$)."

(3) Cadena de conclusiones. Conectar las propiedades con la afirmación que se quiere demostrar. Aquí la persecución de ángulos o las igualdades de potencias se escriben explícitamente, paso a paso.

(4) Conclusión. Una o dos oraciones que enuncian el resultado: "Luego $P$, $Q$, $R$, $S$ son concíclicos. $\square$" o "Por tanto $A$, $B$, $C$ son colineales (ya que $\measuredangle(AB, AC) = 0$). $\square$".

Cómo redactar la persecución de ángulos

La persecución de ángulos orientados debe escribirse como una cadena de igualdades explícita, con la justificación de cada paso entre paréntesis:

$\measuredangle(PA, PB) = \measuredangle(QA, QB) \iff P, Q, A, B$ concíclicos.

Una redacción correcta: "Calculamos $\measuredangle(TB, TC)$. Como $T \in \odot(ABD)$ (por construcción), tenemos $\measuredangle(TA, TD) = \measuredangle(BA, BD)$ (ángulos inscritos en $\odot(ABD)$). Como $ABCD$ es cíclico en $\Omega$, $\measuredangle(BA, BD) = \measuredangle(CA, CD)$ (ángulos inscritos en $\Omega$ que subtienden el mismo arco). Como $T \in \odot(ACD)$ (por demostrar en el paso siguiente...), $\measuredangle(CA, CD) = \measuredangle(TA, TD)$. Uniendo: $\measuredangle(TB, TC) = ...$".

Errores a evitar: (a) no mezclar $\measuredangle$ con ángulos sin orientar en el mismo argumento; (b) no saltar de "el ángulo $\angle APB = \angle AQB$" directamente a "$APQB$ es cíclico" sin mencionar que ambos puntos subtienden el mismo segmento $AB$ desde el mismo lado (esto no es necesario con ángulos orientados, pero sí lo es con ángulos sin orientar); (c) no citar "ángulo inscrito" sin especificar en qué círculo.

Cómo redactar un argumento de potencia de un punto

Cuando el argumento central involucra la potencia de un punto, la redacción debe establecer: (1) qué punto, (2) respecto de qué círculo, (3) cuál es la expresión de la potencia (en forma de producto de longitudes), y (4) qué igualdad de potencias se deduce.

Ejemplo de redacción correcta: "La potencia del punto $P$ respecto de $\omega_1$ es $\text{pow}(P, \omega_1) = PA \cdot PB$ (ya que la recta $PAB$ es secante a $\omega_1$ en $A$ y $B$). La potencia del mismo punto $P$ respecto de $\omega_2$ es $\text{pow}(P, \omega_2) = PC \cdot PD$. Como $\text{pow}(P, \omega_1) = \text{pow}(P, \omega_2)$ (demostrado en el paso anterior porque $P$ está en el eje radical de $\omega_1$ y $\omega_2$), concluimos $PA \cdot PB = PC \cdot PD$."

Si el argumento usa tangentes: "Como $PT$ es tangente a $\omega$ en $T$, $PT^2 = \text{pow}(P, \omega) = PA \cdot PB$, donde $A$, $B$ son los puntos de intersección de cualquier secante desde $P$ con $\omega$."

Un error frecuente: usar $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ sin verificar que los cuatro puntos están en el mismo círculo o que $P$ está en el eje radical. La igualdad de potencias debe ser justificada, no asumida.

Cómo citar los teoremas auxiliares

En una olimpiada, los teoremas que se pueden usar sin demostración son los que el jurado considera "conocidos". Para IbAm, los siguientes se pueden citar directamente: Teorema del ángulo inscrito, recíproco del ángulo inscrito (concíclicidad), potencia de un punto, Teorema de Ceva, Teorema de Menelao, Teorema de Pitágoras, semejanza de triángulos, Teorema de Tales, y los criterios básicos de congruencia.

Los siguientes requieren una justificación rápida (una o dos oraciones) la primera vez que se usan: el Teorema de Miquel, el lema del punto medio del arco, el lema del mixtilineal, el Teorema de Monge, el eje radical, la homotecia entre circunferencias.

Los siguientes requieren demostración completa si se usan: el Teorema de Feuerbach, el Teorema de Sawayama-Thébault, cualquier resultado que el estudiante no esté seguro de que el jurado considere estándar. En caso de duda, incluir una demostración de dos o tres líneas es siempre mejor que omitirla.

Sobre la figura: en IbAm se debe acompañar la solución con una figura. La figura no es parte de la demostración (un argumento sin figura es válido), pero es obligatoria por las reglas de la olimpiada. La figura debe estar etiquetada con todos los puntos mencionados en la solución y, si se introduce un objeto auxiliar, este también debe aparecer en la figura.

Ejemplo comentado: solución bien escrita vs. solución con errores

Enunciado (IbAm 2022, adaptado): Sea $\triangle ABC$ con circuncircunferencia $\Omega$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita a $\triangle BDC$. La tangente a $\omega$ en $D$ corta a $\Omega$ en los puntos $P$ y $Q$. Demuestra que $AD$ bisecta el arco $PQ$ de $\Omega$.

Solución con errores (fragmento): "Como $AD \perp BC$ y $D \in BC$, el ángulo $\angle ADB = 90°$. Entonces $A$, $D$, $B$, y el punto en el diámetro son concíclicos. La tangente en $D$ a $\omega$ forma ángulo igual al inscrito, entonces $PD = QD$ y $AD$ bisecta $PQ$." — Errores: (a) "el punto en el diámetro" es vago; (b) "La tangente forma ángulo igual al inscrito" sin especificar qué ángulo ni qué arco; (c) de "$PD = QD$" no se concluye directamente que $AD$ bisecta el arco $PQ$.

Solución correcta (fragmento): "Como $\angle ADB = 90°$, el punto $D$ está en la circunferencia de diámetro $AB$; en particular $\angle ADB$ es el ángulo inscrito en $\odot(ADB)$ sobre el diámetro $AB$. Sea $t$ la tangente a $\omega$ en $D$. Por el ángulo entre tangente y cuerda (en $\omega$), $\measuredangle(t, DB) = \measuredangle(DCB)$ (arco $DB$ de $\omega$). Como $D$, $B$, $C$ están en $\omega$, $\measuredangle(DCB) = \measuredangle(DCB)$. [Continúa la persecución de ángulos hasta mostrar $\measuredangle(AP, AQ) = 0$ con respecto a $D$, es decir $A$, $D$, y el punto medio del arco $PQ$ son colineales.]"

La diferencia: la solución correcta nombra cada círculo, cita el teorema (ángulo entre tangente y cuerda) con el arco correspondiente, y usa ángulos orientados de forma sistemática.