Coordenadas cartesianas: cuándo y cómo usarlas en olimpiadas

¿Cuándo usar coordenadas? El diagnóstico previo

La geometría analítica es una herramienta poderosa pero costosa: convierte un problema de figuras en álgebra, y el álgebra puede volverse inmanejable si la elección del sistema de coordenadas es mala. El primer paso siempre es preguntarse: ¿este problema tiene más simetría algebraica o más simetría geométrica?

Señales de que las coordenadas ayudan: el enunciado pide demostrar una igualdad de longitudes o de razones, las condiciones del problema son algebraicas (por ejemplo, "$M$ es el punto medio de $AB$", "$P$ divide $AB$ en razón $2:1$"), el problema involucra la intersección de varias rectas o círculos cuyas ecuaciones son manejables, o hay una condición de perpendicularidad o paralelismo.

Señales de que las coordenadas perjudican: el problema involucra ángulos (especialmente ángulos inscritos o centrales), la figura tiene muchos puntos en una circunferencia (para lo cual la persecución de ángulos o el método complejo son mejores), o el enunciado pide una concurrencia de muchas rectas (para lo cual Ceva o Miquel son más eficientes).

En las olimpiadas iberoamericanas, las coordenadas cartesianas son útiles especialmente en problemas con trapecios, paralelogramos, o configuraciones donde un eje de simetría es evidente. En problemas puramente circulares, rara vez son la herramienta óptima.

Elegir el sistema de coordenadas estratégicamente

Una vez decidido usar coordenadas, la elección del origen y los ejes determina la dificultad del cálculo. La regla de oro: pon el objeto más complicado del problema en la posición más simple posible.

**Regla 1 — El lado más largo en el eje $x$**: si el problema tiene un triángulo $\triangle ABC$ con un lado largo o con propiedades especiales (por ejemplo, $BC$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, o $BC$ es el diámetro de un círculo), colocar $B$ en el origen y $C$ en $(a, 0)$. Luego $A = (d, h)$ con $h > 0$. Esta elección hace que las ecuaciones de las mediatrices y alturas sean simples.

Regla 2 — El punto de simetría en el origen: si la figura tiene un eje de simetría o un centro de simetría, colocar ese punto en el origen elimina los términos impares de las ecuaciones. Por ejemplo, si $ABCD$ es un trapecio isósceles con eje de simetría vertical, colocar el punto medio de $BC$ en el origen hace que $B = (-a, 0)$, $C = (a, 0)$, $A = (-b, h)$, $D = (b, h)$, y todas las ecuaciones tienen coeficientes simétricos.

Regla 3 — El punto "difícil" en el origen: si el problema tiene un punto especial (el incentro, el ortocentro, el punto de tangencia de dos círculos) que aparece en muchas relaciones, colocar ese punto en el origen hace que sus coordenadas sean $(0, 0)$ y simplifica todas las distancias a ese punto.

Ejemplo de elección mala vs. buena: dado un triángulo $\triangle ABC$ con $\angle A = 90°$, colocar $A$ en el origen con $B = (c, 0)$ y $C = (0, b)$ es mucho mejor que colocar $B$ en el origen con $A$ y $C$ en posiciones generales, porque la condición $\angle A = 90°$ se traduce automáticamente en los ejes ortogonales.

Ecuaciones de rectas y círculos: el kit básico

Con el sistema de coordenadas elegido, las herramientas fundamentales son las ecuaciones de rectas y círculos.

**Recta por dos puntos $P_1 = (x_1, y_1)$ y $P_2 = (x_2, y_2)$**: la ecuación paramétrica es $(x, y) = (x_1, y_1) + t(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$. La ecuación cartesiana es $(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)$. La pendiente es $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (cuando $x_1 \ne x_2$).

**Mediatriz del segmento $P_1 P_2$**: es la recta de ecuación $2(x_2 - x_1) x + 2(y_2 - y_1) y = x_2^2 - x_1^2 + y_2^2 - y_1^2$. Fácil de recordar: es la condición $|P - P_1|^2 = |P - P_2|^2$ expandida.

**Círculo de centro $(a, b)$ y radio $r$**: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. La circunferencia circunscrita a $\triangle ABC$ con $A = (x_A, y_A)$, $B = (x_B, y_B)$, $C = (x_C, y_C)$ se halla resolviendo el sistema de dos ecuaciones de mediatriz.

Intersección de dos círculos: se obtiene restando las dos ecuaciones (los términos cuadráticos se cancelan), lo que da una ecuación lineal en $x$ e $y$: esta es la ecuación del eje radical. Los puntos de intersección se hallan resolviendo el sistema recta-círculo.

**Potencia de un punto $P = (p, q)$ respecto del círculo $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$**: es $(p-a)^2 + (q-b)^2 - r^2$. El eje radical de dos círculos es la recta donde la potencia respecto de ambos es igual.

Ejemplo trabajado: un problema de trapecios con coordenadas

Problema (estilo IbAm): Sea $ABCD$ un trapecio con $AB \parallel CD$, $AB = 2a$, $CD = 2b$ ($a > b > 0$) y altura $h$. Sea $P$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Demuestra que si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente, entonces $M$, $P$, $N$ son colineales.

Solución por coordenadas: Colocamos $A = (-a, 0)$, $B = (a, 0)$, $D = (-b, h)$, $C = (b, h)$. Con esta elección, el eje de simetría es el eje $y$, $M = (0, 0)$ (punto medio de $AB$) y $N = (0, h)$ (punto medio de $CD$). La recta $MN$ es el eje $y$: $x = 0$.

**Cálculo de $P$**: La diagonal $AC$ va de $(-a, 0)$ a $(b, h)$; su ecuación paramétrica es $(-a + t(a+b),\, th)$ para $t \in [0,1]$. La diagonal $BD$ va de $(a, 0)$ a $(-b, h)$; su ecuación es $(a + s(-a-b),\, sh)$. En el punto de intersección $P$: $-a + t(a+b) = a + s(-a-b)$ y $th = sh$. De la segunda ecuación: $t = s$. Sustituyendo en la primera: $-a + t(a+b) = a - t(a+b)$, así $2t(a+b) = 2a$, es decir $t = \frac{a}{a+b}$. Entonces $P = \left(-a + \frac{a(a+b)}{a+b},\, \frac{ah}{a+b}\right) = \left(0, \frac{ah}{a+b}\right)$.

Como $P = (0, ah/(a+b))$, la coordenada $x$ de $P$ es $0$, lo que significa que $P$ está en el eje $y$, es decir, en la recta $MN$. Por tanto $M$, $P$, $N$ son colineales. $\blacksquare$

Reflexión: la clave fue la elección simétrica de coordenadas, que hizo que $M = (0,0)$ y $N = (0,h)$ estén en el eje $y$, y que el cálculo de $P$ diera automáticamente $x_P = 0$. Con una elección asimétrica (por ejemplo $A$ en el origen), el álgebra habría sido más larga sin aportar nueva claridad.

Técnicas de eficiencia en el cálculo

Para que el método de coordenadas sea competitivo en tiempo, es indispensable desarrollar automatismos en el cálculo:

**Colinealidad de tres puntos $P$, $Q$, $R$**: verificar que el determinante $\begin{vmatrix} x_P & y_P & 1 \\ x_Q & y_Q & 1 \\ x_R & y_R & 1 \end{vmatrix} = 0$. Esto es equivalente a que el área del triángulo $PQR$ es cero.

Concurrencia de tres rectas: las rectas $a_i x + b_i y + c_i = 0$ ($i = 1, 2, 3$) son concurrentes si y solo si $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.

Evitar fracciones intermedias: si una coordenada es de la forma $\frac{p}{q}$, trabajar con las coordenadas homogéneas $[p : q : 1]$ (o usar la representación paramétrica entera) para retrasar la aparición de fracciones hasta el final.

La trampa del álgebra explosiva: en muchos problemas olímpicos, el cálculo con coordenadas cartesianas crece exponencialmente si los puntos tienen coordenadas generales. La señal de alerta es cuando las expresiones intermedias tienen más de tres o cuatro términos; en ese momento, considerar si hay una simplificación geométrica que se está pasando por alto, o si una elección mejor de coordenadas reduciría la complejidad.